pomocy! ola: Wykaż, ze suma potęg trzeciego stopnia trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez dziewięć.

Janek191: ( n −1)³ + n³ + ( n + 1)³ =

ola: Jak na razie mam tyle: n³+(n+1)³+(n+2)³=3(n³+3n²+5n+3)=3(n+1)(n²+2n+3), wie ktoś co dalej

ola: to wychodzi coś takiego: 3n(n²+2)..

ola: nie wiem jak wykazać, że n(n²+2) jest podzielne przez 3..

Janek191: Rozpatrz n = 3 k lub n = 3 k + 1 lub n= 3 k + 2 Wyjdzie, ze n*( n² + 2) dzieli się przez 3.

ola: dziękuję!

ICSP: bądź n² + 2 = n² − 1 + 3 i po rozbiciu dostajemy podzielność z małego twierdzenia Fermata.

Benny: ICSP, mógłbyś tak pokrótce wyjaśnić z tym twierdzeniem Fermata? Zaciekawiło mnie to, a jak szukam w google to takie trochę niezrozumiałe zapisy są dla mnie

ICSP: Jeżeli p jest pierwsze oraz n całkowite to mamy : p | n^p − n i tyle

Mila: 3n(n²+2)=3n³+6n=9n³−6n³+6n=9n³−6n*(n²−1)= =9n³−6*n*(n−1)*(n+1)= =9n³−2*[3*(n−1)*n*(n+1)] jest podzielne przez 9 , ...... (n−1)*n*(n+1)− iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 3.

Benny: Ok a można tak na chłopski rozum z małym przykładem?

ICSP: Na chłopski rozum ? Na pewno spotkałeś się z zadaniem: Pokazać, że n³ − n dla dowolnej liczby całkowitej n jest podzielne przez 3. Rozwiązanie za pomocą małego twierdzenia Fermata jest natychmiastowe : Ponieważ 3 jest liczbą pierwszą to z małego twierdzenia Fermata dostajemy 3 | n³ − n i koniec. Teraz spróbuj pokazać, że 5 | n⁵ − n bez użycia MTF oraz z użyciem MTF

Benny: no to bez użycia MTF mam tutaj rozwiązane https://matematykaszkolna.pl/forum/286118.html godz.20:04 a z użyciem MTF? 5 jest liczbą pierwszą, więc n⁵−n dzieli się przez 5? chodzi tu o te potęgi? n⁷−n dzieli się przez 7?

ICSP:

Benny: Więc dla każdej liczby pierwszej p, wyrażenie a^p−a dzieli się przez p?

ICSP:

Benny: Ok powiedzmy, że będzie takie zadanko na maturze, mogę z tego skorzystać?

ICSP: możesz

Benny: To ja chcę więcej takich skrótów na rozszerzenie