zadanka Benny: Coś nie za bardzo lubię te dowody geometryczne. Jutro jakąś próbną rozszerzoną piszemy, zobaczymy co tam będzie

Benny: Znalazły się zadanka z 3 etapu http://www.diament.agh.edu.pl/images/dokumenty/matematyka_III_2014_2015.pdf

Benny: Musze porobić trochę tych dowodów geometrycznych, bo dziś znowu był dowód z dwusieczną w trójkącie prostokątnym, środkową i wysokością. Myślałem coś o okręgu opisanym, ale nie napisałem nic, ale pomysł był dobry. No i przypomniało mi się że nie napisałem znowu odpowiedzi do zadania

prosta: jakąś próbną ogólnoszkolną ? czy jakąś okręgową?

prosta: zadanie 7....bajka

Benny: Lubelska rozszerzona, taaa zadanie 7 bajka, ale nie wiem czy to przez stres czy przez co zawiesiłem się przy układzie równań

Benny: A co myślisz o tym zadaniu z prawdopodobieństwa?

prosta: prawdopodobieństwo to już niezłe wyzwanie....nie podejmę się rozwiązania

Benny: czego tego zadanka tak nikt nie lubi

prosta:

	n!
|Ω|=
	(n−k)!

czy tak?

Benny: Też mi się tak wydaję, tylko to udało mi się wymyślić

Benny: Tak sobie myślę, że mało czasu zostało, więc jak zdam maturę to trzeba będzie jakieś studia wybrać, ale nie mam żadnego pomysłu Wychowawczyni(od matmy) mówiła, żebym kombinował coś z matmą stosowaną, myślałem o tym, ale co można po tym robić? Co tu robić?

Qulka: tak jak po każdych innych studiach wszystko studia są po to by udowodnić pracodawcom, że umiesz się SAM zorganizować , nauczyć i dobrze wykonać zadania

Benny: "Sam" zorganizować, ale gdzie? w czym?

Qulka: najlepiej wybierać to co lubisz będzie dużo łatwiej w obecnej erze informatycznej i tak pracę zmienisz kilkanaście razy z kierunek działań pewnie ze 3 więc najważniejsza jest elastyczność i umiejętność dostosowania do zmian i szybkiej organizacji się w nowym miejscu (czyli to co masz na każdych studiach )

Benny: Pani Mila może jest? Może jakieś zadanko do zrobienia jest?

Mila: 1) Rozwiąż nierówność: |2x−5|−|x+5|≤2−2x 2) Rzucamy 4 razy kostka sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich 4 rzutach jest równy 60. 3) Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r. wykaż, że 4r²=|AB|*|CD|

Benny: 1) x∊(−∞;−8>∪<−5;4> 2) |Ω|=6⁴ tutaj będą takie możliwości: (1,2,5,6)−>4! (1,3,4,5)−>4!

	4!
(2,2,3,5)−>
	2!

|A|=60

	5
P(A)=
	108

3)

	a−b
w tym trójkącie prostokątnym mamy przyprostokątne o długości 2r i
	2

okrąg wpisany w trapez, więc a+b=2c

	a+b
c=
	2

	a−b
c2=4r2+(		)2
	2

16r²=a²+b²+2ab−a²−b²+2ab 16r²=4ab 4r²=ab

Mila: 2 i 3) dobrze. Sprawdzam (1)

Mila: 1) x∊(−∞;−8>∪<−2;4>

Benny: źle przepisałem, oczywiście powinno być −2

Mila: 4). W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna podstawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze a. Wyznacz objętość graniastosłupa.

Mila: 5) Wykaż,że jeżeli jeden z kątów trójkąta ma miarę 30^o, to długość boku przeciwległego temu kątowi jest równa promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie.

Benny: między czerwoną a niebieską linią jest kąt α x²=H²+(2h)² a²+H²=y² x²=y²+d²−2dycosα 2h=a√3

	1
a=		d
	2

	√3
2h=d
	2

	d√1−4cos2α
po rozwiązaniu tego układu wyszło mi H=
	4cosα

	3√3d2
Pp=
	8

	3√3−12cos2α*d3
V=
	32cosα

Dziwny wynik

Benny: W tym 5 to tw.sinusów i tyle?

Mila: Bardzo dobrze.

Mila: Zastanawiam się nad rysunkiem. Odezwę się w tej sprawie.

Mila: +

Benny:

Mila: 6) Wyznacz i zapisz dziedzinę funkcji jako sumę przedziałów. f(x)=log_(2cosx)(9−x²) 7) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania: 2cos²x=cosx dla x∊<0,2π>

Benny: zad. 6

π

π

π

π

π

π

x∊(−

;−

)∪(−

;

)∪(

;

)

2

3

3

3

3

2

zad. 7

	π		π		3π		5π
x=		∨ x=		∨ x=		∨ x=
	3		2		2		3

Mila: Dobrze.

Benny: Cieszę się

Mila: 8) Jeżeli od 4 wyrazów ciagu geometrycznego odejmiemy odpowiednio kolejne wyrazu ciągu arytmetycznego, to otrzymamy liczby:1,4,17,50. Wyznacz ten ciąg geometryczny.

Benny: pierwszy wyraz ciągu geo. − a₁ pierwszy wyraz ciągu ar. − a₁' a₁−a₁'=1 a₁−1=a₁' więc a₂'=a₁−1+r itd. a₁*q−a₁+1−r=4 a₁(q−1)=r+3 a₁*q²−a₁+1−2r=17 a₁(q²−1)=16+2r a₁(q³−1)=49+3r a₁=10 q=2 Dwa razy rozwiązywałem ten układ, bo za pierwszym jakoś dziwnie podstawiałem

Benny: Tym zadankiem kończę dzisiejszy dzień. Dobranoc

Mila: Szybko rozwiązałeś. Dobranoc

Benny: Może dlatego, że mój mózg pragnął odpoczynku?

Mila: Jest indeks?

Benny: Nima i nie będzie. Wyniki chyba dopiero 20 kwietnia. Coś fajnego jest dziś do zrobienia?

Mila: Myślę,że będzie. Zadania znajdę. Za chwilę.

Mila: 1) Podaj liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m |x²−6x+8|+|x²−6x+5|=m

Benny: Rozpisywanie tego na przedziały raczej nie będzie dobrym pomysłem. Oczywiście m na pewno nie jest mniejsze od 0

Mila: Rysowanie f(x) w przedziałach, bardzo ładnie to wychodzi, trzeba troche cierpliwości.

Benny: Tylko trochę długo. Inne sposoby są? Bo nie wiem czy coś innego próbować.

Mila: Ja rozwiązałam rozpisując wzór funkcji na przedziały. Narysowałam wykresy. Szukaj innych sposobów.

Benny: hmm to z tych przedziałów wychodzi tak: m∊(5;+∞), dwa rozwiązania m=5, trzy rozwiązania m∊(3;5), cztery rozwiązania i tutaj dla m=3 nie mam pomysłu jak to zapisać, bo mam 2 odcinki funkcji stałej

Mila: f(x)=3 dla x∊<1,2> lub x∊<4,5> Dla m=3 istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.

Benny: No właśnie tak myślałem, ale wolałem się upewnić

Benny: Jak będziesz miała jeszcze czas to poprosiłbym o jakieś zadanko. Mykam spać. Dobranoc

Mila: 2) W(x) =x³+bx²+cx+d ma 3 pierwiastki tworzące ciąg geometrycny o pierwszym wyrazie równym 2. wiadomo, że W(3)=5 Znajdź te pierwiastki. Dobranoc

Benny: Tak jak myślałem maturka, zadanie z optymalizacji −1 pkt za brak oznaczeń, prawdopodobieństwo −2(całość) pomyliłem kolory, −3 pkt dowód, który był prosty, ale nie wpadłem na pomysł i −1 pkt za udowodnienie, że liczba jest podzielna przez 16. Otrzymałem takie wyrażenie 8*(n+1)(n²+2n+2) i napisałem, że dla n nieparzystych n+1 jest podzielne przez 2, a dla n parzystych n²+2n+2 jest podzielne przez 2 a powinienem napisać że jeśli jest parzysta to n=2k a jak jest nieparzysta to n=2k+1. Czemu za mój sposób nie otrzymałem pkt? Co do Twojego zadanka to otrzymałem trzy ciągi:

	1
x1=2, x2=1, x3=
	2

x₁=2, x₂=−2, x₃=2 x₁=2, x₂=4, x₃=8

Mila: 1) Ciągi dobre. 2) Musisz zapytać sprawdzającego.

Benny: No pytałem i dowiedziałem się że tak to powinienem zapisać

Mila: Znajdę zadania na podzielność; Mam dwa w tej chwili. Pisz całe rozwiązanie. 1) Wykaż, że liczba postaci: (10ⁿ+2)² jest podzielna przez 9 dla n∊N₊ 2) Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Mila: 3) Wykazać, że n⁵ – n, gdzie n jest liczb naturalną, jest podzielne przez 30. 4) Wykazać, że n⁶ – 2n⁴+n², gdzie n jest liczb naturalną, jest podzielne przez 36 dla n∊N. 5) Czy liczba 2*9¹⁰⁰−9⁹⁹−9⁹⁸ jest podzielna przez 19? Prosimy Etę o zadanka z podzielności. ==============================

Benny: liczba 10ⁿ+2 jest podzielna przez 3 ponieważ jest postaci 1000....2, więc jej kwadrat jest podzielny przez 9

Benny: 4)n⁶−2n⁴+n²=n²(n⁴−2n²+1)=n²(n²−1)²=(n(n−1)(n+1))² iloczyn trzech liczb naturalnych jest podzielny przez 6 więc ich kwadrat dzieli się przez 36 5)2*9¹⁰⁰−9⁹⁹−9⁹⁸=9⁹⁸*(162−9−1)=152*9⁹⁸=8*19*9⁹⁸

Mila: 1) Suma cyfr liczby : 10ⁿ+2 jest równa 3, zatem liczba ta dzieli sie przez 3, więc jej kwadrat dzieli się przez 9.

Benny: to 2 i 3 łeee robię, robię i coś mi nie wychodzi, dostaje równanie 3n(n²+2) i tak jak wcześniej myślę sobie o parzystej i nieparzystej, liczę, liczę i coś jest nie tak, liczba ma się dzielić przez 3, więc robimy n=3k lub 3k+1 lub 3k+2 no i mamy: 2) n=3k 9k(9k²+2) n=3k+1 9(3k+1)(3k²+2k+1) n=3k+2 9(3k+2)(3k²+4k+2) 3) tutaj wychodzi mi n(n−1)(n+1)(n²+1) na razie mam, że dzieli się przez 6 coś z tym n²+1 trzeba udowodnić, że dzieli się przez 5 czy jakoś inaczej?

ja: punkt A=(0,5) jest wierzchołkiem prostokąta ABCD. Osiami symetrii tego prostokąta są proste o równnaniach y=1/2x+15/8 oraz y=−2x+15. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego prostokąta Pomoże mi ktoś? proszę

Eta: 2/ podpowiedź 3n(n²+2) = 3n[(n²−1)+3] = .........

Benny: Widzę, że mój sposób jest dłuższy więc mamy: 2) 3n[(n−1)(n+1)+3]=3n(n−1)(n+1)+9n 9n na pewno dzieli się przez 9, a 3n(n−1)(n+1) też dzieli się przez 9, ponieważ wśród 3 kolejnych liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3 Dzięki temu znalazłem analogie do 3 3) n(n−1)(n+1)(n²+1)=n(n−1)(n+1)[(n²−4)+5]=n(n−1)(n+1)(n+2)(n−2)+5n(n−1)(n+1) n(n−1)(n+1)(n+2)(n−2) to wyrażenie dzieli się przez 30, ponieważ jest to 5 kolejnych liczb naturalnych, więc jedna na pewno dzieli się przez 2,3,5 5n(n−1)(n+1) to wyrażenie dzieli się przez 30, ponieważ są tu 3 kolejne liczby naturalne z których jedna na pewno dzieli się przez 2 i przez 3

Eta:

Benny: Teraz na pewno będę takie rzeczy zauważał w tych dowodach

Eta: To teraz zmierz się z takimi zadankami : zad1/ Wykaż ,że dla każdego n∊N

	1
liczba 4n+9n+3√		*6n+1 jest kwadratem liczby całkowitej
	27

zad2/ Wykaż ,że liczba 7²⁰¹⁵−3²⁰¹⁶ jest podzielna przez 5 zad3/ Wykaż ,że liczba 7777⁵+444⁴−33²¹ jest podzielna przez 10 zad4/ Wykaż ,że liczba 2^log₃5−5^log₃2 jest liczbą parzystą zad5/Wykaż,że dla n∊N liczba (n−2)⁴−n⁴ jest podzielna przez 8

	n4		n3		n2
zad6/ Wykaż,że liczba		+		+
	4		2		4

jest kwadratem liczby naturalnej P.S. zadania tylko dla Benny ! Powodzenia

Eta: Czekałam na .........magiczne słowo znasz takie?

Benny: Dziękuję!

Eta:

Benny: Zad 1

	1
4n+9n+		*6n+1=22n+32n+2*6n=(2n+3n)2
	3

Zad 2 Podobne zadanko było na AGH−u, więc zrobiłem analogicznie. Co czwarta potęga cyfra jedności jest taka sama(dla każdej liczby?) więc 7²⁰¹⁵ ma cyfrę jedności "3" 3²⁰¹⁶ ma również cyfrę jedności "3" więc jak odejmiemy: 3−3 otrzymamy cyfrę jedności 0. Liczba, która kończy się cyfrą 0 dzieli się przez 5. Takie wytłumaczenie wystarczy?

Eta: ok

Mila: Powodzenia Ładne zadanka Eto.

Benny: Zad 5 (n−2)⁴−n⁴=((n−2)²−n²)((n−2)²+n²)=(n²−4n+4−n²)(n²−4n+4+n²)=8(1−n)(n²−2n+2) Zad 6

n4+2n3+n2		n2(n2+2n+1)		n2(n+1)2		n(n+1)
	=		=		=(		)2
4		4		4		2

Teraz muszę pomyśleć nad tym 3 i 4

Eta:

	n(n+1)
Do zad. 5 .........jeszcze komentarz ,że		jest całkowita
	2

Mila: w (6) przydałby się komentarz, masz tam ułamek w nawiasie.

Eta: Oczywiście chodzi o zad 6 ( sorry)

Eta: Mila .... zaraz znów Ci się ode mnie ...."oberwie"

Mila: Eta jak ETA.

Eta: ETA ! ... w Hiszpanii

5-latek: Witam Panie Pozdrawiam Poza tym obowiazuje ustawa o bezstresowym wychowaniu

Benny: Ok to będzie chyba tak, że iloczyn dwóch kolejnych liczb jest podzielny przez 2, więc

	n(n+1)
		jest liczbą całkowitą
	2

Benny: Zad 4 Tutaj się tak męczyłem z początkiem, zapomniałem jak potęgi zamienić na logarytmy 2^log₃5−5^log₃2 2^log₃5=a 5^log₃2=b log₃2^log₃5=log₃a log₃5*log₃2=log₃a log₃5^log₃2=log₃b log₃2*log₃5=log₃b log₃b=log₃a a=b a−b=a−a=0 Zadanko 3 nie mam już chyba pomysłów, wyłączanie, jakieś dziwne kombinowanie, skończyłem na przedstawieniu tych liczb za pomocą sumy ciągu

Eta: Witam A jak rozwiązywałeś zad.2/ ? to 3/ identycznie

Benny: No myślałem nad takim rozwiązaniem, ale bez kalkulatora ciężko określić cyfrę jedności 7777⁵ lub 444⁴

Eta: Liczba 7777 kończy się 7 to potęgi tej liczby kończą się: 7777¹= 7777 7777²= .....9 itd powtarzają się co 4 sekwencje podobnie 444⁴ i 33²¹ ...... dokończ

Benny: Wiem, że powtarzają się co 4, napisałem chyba wyżej. Jak patrzę na duża liczbę zawsze brać tylko ostatnią cyfrę do potęgi aby sprawdzić jaką cyfrą się kończy, jeśli tak to będzie łatwo Liczba 7777⁵ kończy się 7, liczba 444⁴ kończy się 6 a liczba 33²1 kończy się 3 więc 7+6−3=10 liczba 7777⁵+444⁴−33²1 kończy się cyfrą 0 więc dzieli się przez 10

Eta: Dokładnie tak

Eta: Masz ochotę na następną porcję zadań tego typu?

Benny: Coś możemy jeszcze spróbować

Eta: zad1/ Wykaż ,że liczba 2015²+2015²*2016²+2016² jest kwadratem liczby naturalnej zad2/ Wykaż,że liczba 2²⁰¹²−16 jest podzielna przez 15 zad3/ Wykaż,żedla n∊N liczba (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1 jest kwadratem pewnej iczby naturalnej zad4/ Wykaż ,że kwadrat każdej liczby naturalnej n można przedstawić w postaci 3k lub 3k+1 , gdzie n,k∊N zad5/ wykaż,że zachodzi równość 7^√log₇3=3^√log₃7 Powodzenia

Benny: Zad 1 tutaj zrobiłem tak 2015=x 2016=x+1 x²+x²(x+1)²+(x+1)²=x⁴+2x³+3x²+2x+1=x⁴+x³+x³+x²+x²+x²+x+x+1= =x²(x²+x+1)+x(x²+x+1)+x²+x+1=(x²+x+1)(x²+x+1)=(x²+x+1)² (2015²+2016)² Tak to może być? Czy jest inny sposób?

Benny: hmm co do zadania 2 nie jestem pewny zad 2 2²⁰¹²−16=2⁴(2²⁰⁰⁸−1) 2²⁰⁰⁸ −1 ma na końcu 5, więc dzieli się przez 5 Sprawdziłem sobie jak jest z podzielnością przez 3 i wyszło mi, że jak 2 podniesiemy do potęgi parzystej i odejmiemy 1 to liczba będzie podzielna przez 3. 2008 jest parzyste, więc 2²⁰¹²−16 dzieli się przez 15

Benny: Zad 3 (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=n⁴+10n³+35n²+50n+25 analogicznie jak zad 1 n²(n²+5n+5)+5n(n²+5n+5)+5(n²+5n+5)=(n²+5n+5)²

Eta: 1/ ok (ale też można wykazać bez podstawienia) 2/ "sprawdziłem sobie" ................ Ty masz to uzasadnić( by sprawdzający dał Ci max punktów 2⁴(2²⁰⁰⁸−1)= 2⁴ (16⁵⁰²−1) = 16*(16−1)(16⁵⁰¹+16⁵⁰⁰+.......+1)=16*15*k

Benny: Kurcze właśnie kombinowałem z tym wzorem, ale nie wpadłem, żeby 2 zamienić na 16

Eta: 3/ ok można też tak : (n+1)(n+4)(n+2)(n+3)+1= (n²+5n+4)*[(n²+5n+4)+2]+1= .........

Eta: W iloczynie ma się pojawić czynnik 15 to myślisz w którym się pojawi? ... ano w (2²⁰⁰⁸−1) zatem (16−1) i .......... już wtedy wiesz jak jak działać

Benny: Też chce widzieć od razu te szybsze sposoby

Eta: Z czasem nabierzesz wprawy ........ "trening czyni mistrza"

Eta: do zad3/ uogólnienie: iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o 1 jest kwadratem liczby naturalnej

Eta: 100 moja

Qulka: Eta

Benny: Gratuluję!

Eta:

Benny: Zad 5 7^√log₇3=a log₃7^√log₇3=log₃a √log₇3*log₃7=log₃a

1
	*log37=log3a
√log37

√log₃7=log₃a 3^√log₃7=b log₃3^√log₃7=log₃b √log₃7=log₃b log₃b=log₃a a=b

Eta: ok można też tak: 7^√log₇3 =3^√log₃7 /^√log₃7 ⇒ 7=7

Benny: Hmm a to 4? zad 4 n=3k lub n=3k+1 lub n=3k+2 n²=9k² lub n²=9k²+6k+1 lub n²=9k²+12k+4 n²=3k*3k lub n²=3k(3k+2)+1 lub n²=3(k²+4k+1)+1 Nie za bardzo wiedziałem jak to zapisać to spróbowałem tak i coś tam niby wyszło. Mam nadzieję, że chociaż trochę dobrze

Eta: @Benny Dobrze i nie za bardzo dobrze Musisz pisać komentarze( a tu ich brak) ,to konieczne! 4/ Komentarz: każdą liczbę naturalną n możemy zawsze zapisać w postaci: n= 2a v n=2a+1 n= 3a v n= 3a+1 v n=3a+2 : n= 6a v n=6a+1 v n=6a+2 v n=6a+3 v n=6a+4 v n=6a+5 gdzie n,a∊N itd........... dla n=3a ⇒ n²= 9a²= 3*(3a²)= 3*k , gdzie k=3a² i k∊N n=3a+1 ⇒n²= ...........=3*(3a²+2a)+1 =3k+1 ,k= 3a²+2a n=3a+2 ⇒ ......... dokończ....... zatem kwadrat każdej liczby naturalnej można przedstawić w postaci 3k lub 3k+1 , k∊N c.n.w

Benny: ale tak można wypisywać w nieskończoność n=3a+2 n²=9a²+6a+4=3(3a²+2a+1)+1=3k+1, k=3a²+2a+1 czemu coś mi nie pasuje dla n=4a np? 16a² jak zapisać?

Mila: Wystarczy wykazać, że : Kwadrat liczby naturalnej przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 lub 1. Warto zapamiętać.

Benny: Więc wystarczy tylko wykazać dla n=3k, n=3k+1 i n=3k+2?

Eta:

Eta: W zadaniu mamy wykazać 3k v 3k+1 dlatego bierzemy liczby postaci :n=3a i n=3a+1 i n=3a+2

Benny: Czyli do mojego rozwiązania brak komentarza tylko?

Eta: tak

Benny: Dziękuję

Benny: Coś nowego się znajdzie?

Mila: Do moich zadań załóż nowy wątek.

Mila: Możesz tam spojrzeć. https://matematykaszkolna.pl/forum/287313.html