Oblicz całkę ANIA: ∫ ^x3_{x⁸ + 1} = W liczniku: x³ W mianowniku: x⁸ + 1

J:

	x2*x
= ∫		dx = ... podstaw: x2 = t , 2xdx = dt
	x8+1

J:

	1		t
dostaniesz :		∫		dt = .. .teraz podstawienie: t2 = u , 2tdt = du
	2		t4 + 1

i wychodzisz na całkę elementarną

Mariusz: t=x⁴ dt=4x³dx

J:

	1		1
... albo jeszcze szybciej: x4 = t , 4x3dx = dt ... =		∫		dt
	4		t2 + 1

( całka elementarna )

ICSP: Panie Mariuszu mógłbym mieć pytanie ?

J: Czyżby coś nie tak ?

ICSP: Chodzi mi o inny post

Mariusz: ICSP o co chodzi jaki to post ?

ICSP: Czy to ty dokonałeś ostatniego wpisu w poście : https://matematykaszkolna.pl/forum/99243.html Interesuje mnie tamto podstawienie

Mariusz: Podstawienie trygonometryczne ? Jak wygląda wzór na cosinus kąta potrojonego ?

ICSP: cos3x = 4cos³x − 3cosx

Mariusz: No właśnie , nie przypomina ci on postaci równania ? Gdy wstawisz do równania y=ucos(theta) to wyznaczysz takie u aby równanie przypominało ten wzór

ICSP: y³ + py + q = 0 podstawiamy y = u cos(θ) u³ cos³(θ) + pu cos(θ) + q = 0 \\ 4cos³x − 3cosx u³ = 4α pu = −3α 3u³ = 12α −4pu = 12α 3u³ + 4pu = 0 u(3u² + 4p) = 0

	−p
u2 = 4 *
	3

u = 2 * √−p/3 Czyli takie podstawienie sprowadza mi równanie do postaci: cos(3θ) = q₁ które jest równaniem trygonometrycznym i rozwiązuje je znanymi sposobami ?

Mariusz: Teraz obliczasz θ przykładając funkcję odwrotną do cosinusa Z okresowości cosinusa będziesz miał trzy rozwiązania

ICSP: Już chyba rozumiem. Biorąc równanie : x³ − 21x + 20 = 0 podstawiam x = 2√7 cos(θ) i dostaje : 8 * 7 * √7 cos³(θ) − 21 *2 * √7 cos(θ) + 20 = 0

	−10
4cos3(θ) − 3cos(θ) =
	7√7

	−10
cos(3θ) =
	7√7

	−10   arccos( )   7√7		2
θ =		+		kπ . k = 0,1,2
	3		3

	−10   arccos( )   7√7
x1 = 2√7 * cos[		]
	3

	−10   arccos( )   7√7		2
x2 = 2√7 * cos[		+		π]
	3		3

	−10   arccos( )   7√7		4
x3 = 2√7 * cos[		+		π]
	3		3

Czy może istnieje jeszcze jakiś sposób aby to uprościć ?

Mariusz: Możesz jeszcze usunąć niewymierność z mianownika Czasami udaje się obliczyć wartość funkcji odwrotnej do trygonometrycznej ICSP bawiłeś się geogebrą ? Chciałem zilustrować twierdzenie Talesa i potrzebuję konstrukcji prostej równoległej Znalazłem w sieci jedną z konstrukcji ale po dodaniu suwaków dla pewnych wartości proste przestają być równoległe Dałem zadanie na forum i PW jak zwykle mi je zaspamował w przeciwieństwie do J który całkiem nieźle odpowiedział w temacie o trójkącie

ICSP: Nie miałem jeszcze przyjemności bawić się geogebrą. Może Godzio coś o niej wie. Dzięki za pomoc z tymi wzorami.

Mariusz: Zauważ że po skorzystaniu z liczb zespolonych otrzymałbyś pierwiastki w tej samej postaci Jeśli nie znamy liczb zespolonych trzeba zacząć rozwiązywać bez trygonometrii i dopiero gdy równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych to korzystamy z trygonometrii (chyba że od razu potrafisz ocenić liczbę pierwiastków rzeczywistych) Przed zastosowaniem podstawienia trygonometrycznego dobrze jest sprawdzić czy nie można jakichś wzorów skróconego mnożenia użyć

ICSP: Znam jeszcze wyróżnik dla równania x³ + pq + q = 0. Za pomocą jego znaku mogę łatwo wychwycić ilość pierwiastków