Oblicz pe qy: Oblicz dla jakich wartości parametrów m i n wielomian W(x) = −64x³ − mx² + nx −27 ma pierwiastek trzykrotny. Wyznacz ten pierwiastek. Pomoże ktoś?

Metis: Wzory Viete'a

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/forum/285100.html czesc Michal zobacz tu

pe qy: Rozwiń troszkę

Metis: Mila już je załatwiła

pe qy: W jaki sposób mam użyć wzorów Viete'a?

Benny: chodzi o wzory viete'a na wielomian 3 stopnia, których nie ma w podstawie liceum, google pomoże możesz policzyć z pochodnych

Mila: Benny, rozwiąż. ( z pochodną i wyjaśnieniem)

pe qy: Eh, nie ma w podstawie dla LO a jutro test z tego, nie miałem wzorów Viete'a na wielomian 3 stopnia jak i nie miałem jeszcze pochodnych. Poszukam podobnych przykładów lecz jak by ktoś pokusił się o rozwiązanie (może inną metodą?) to chętnie zobaczę w jaki sposób to się robi

Mila: Coś wymyślę.

Jacek: a*(x−x₀)³ = −64x³ − mx² + nx −27 a*x³ − 3a*x₀*x²+3a*x₀²*x−ax₀³ a=−64 −m=3*64*x₀ n=− 3*64*x₀²

	3
−64x03=−27⇔x0=−
	4

Jacek: niepotrzebny "−" przy 64*x₀³=−27, x₀=−3/4

Jacek: oczywiście o ile trzykrotny pierwiastek to oznacza....

Metis: −64x³ − mx² + nx −27 = (−4)³x³ −mx² + nx− 3³= (−4x)³−3³ −mx² +nx = (−4x−3)(16x²−12x+9) −mx² +nx Próbuje tak, ale nie wiem czy to do czegos doprowadzi

pe qy: Ja zrobiłem to tak, znalazłem w internecie podobny przykład i analogicznie robiłem, nie wiem czy wyniki dobre. W(x) = −64³ − mx² + nx − 27 (−4x−3)(−4x−3)(−4x−3)= (16x²+24x+9)(−4x−3)= −64x³−96x−36−48x²−72x−27= −64x³−48x²−168x−63 m=48 n=−168 Dobrze? I jak mam wyznaczyć ten pierwiastek trzykrotny?

Mila: a− pierwiastek trzykrotny wielomianu W(x)⇔ −64*(x−a)³=−64x³ − mx² + nx −27⇔ −64*(x³−3x²a+3xa²−a³)=−64x³ − mx² + nx −27⇔ −64x³+192ax²−192a²x+64a³=−64x³ − mx² + nx −27⇔ 64a³=−27

	−27
a3=
	64

	3
a=−
	4

192a=−m

	−3
192*		=−m
	4

m=144 −192a²=n

	9
−192*		=n
	16

n=−108 Sprawdź, w(x)=−64x³−144x²−108x−27

	3		3
w(x)=0 dla x=−		i −64(x+		)3=W(x)
	4		4

m=144 n=−108

Metis:

	3
Milu twój pierwiastek to −		. Zauważ że moim zapisie dwumian −4x−3 wyzeruje się
	4

	3
własnie dla −		.
	4

Trójmian 16x2−12x+9 nie ma pierwiastków. Można teraz jakoś pokombinować z wyrażeniem −mx² +nx

Benny: Próbowałem coś z tych pochodnych, ale dziwne rzeczy porobiłem chyba

Mila: Trzeba skorzystać z definicji pierwiastka trzykrotnego i wzoru jak pokazałam. Oczywiście są inne sposoby.

Jacek: −3/4 jest potrójnym pierwiastkiem, nie ma już żadnych innych rozwiązań, nawet zespolonych.

pe qy: Oki, przeanalizuje wszystko jeszcze raz i na spokojnie ogarnę Dziękuję wszystkim za pomoc

Metis:

Mila: Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci : ax³ + bx² + cx + d= 0, o pierwiastkach x₁, x₂, x₃ wzory Viete'a mają postać:

	b
x1 + x2 + x3 = −		,
	a

	c
x1* x2 + x1 *x3 + x2 *x3 =		,
	a

	d
x1 *x2 *x3 = −		.
	a

Stąd dla naszego równania gdy: x₁=x₂=x₃ mamy :

	27
x13=
	−64

	3
x1=−
	4

Benny: Ok z pochodnych jednak wychodzi ładnie. Nie wychodziło mi cały czas, bo zapisałem m zamiast m² Jeśli chcesz mogę Ci tu wrzucić rozwiązanie.

Metis: Benny wrzucaj

Mila: Porównamy sposoby.

Benny: W(x)=−64x³−mx²+nx−27 W'(x)=−192x²−2mx+n Δ=0 4m²+738n=0 m²=−192n W''(x)=−384x−2m −384x−2m=0 m=−192x m²=192*192*x² −192n=192*192*x² n=−192*x² W(x)=−64x³+192x³−192x³−27 −64x³−27=0

	27
x3=−
	64

	3
x=−
	4

Mila: dla Benny. Dobranoc.

Benny: Och dziękuje, dobranoc Ps. Jak byś tak jeszcze była do jutra około 6:30 to prosiłbym o jakieś zadanko

Mila: Wtedy śpię. Teraz napiszę.

Jacek: A potrafisz Benny uzasadnić, czemu licząc pierwszą i drugą pochodną otrzymujesz wartości parametrów?

Benny: Jeśli wielomian ma pierwiastek k−krotny to pochodne 1,2,...,(k−1) też mają ten pierwiastek

yolex: Jeśli to jest zadanie z podstawy, to rozwiązanie też musi być łatwe. pewnie chodzi o to, że żebyśmy mieli potrójny pierwiastek, to wielomian musi być postaci (ax+b)³. W tym wypadku (−4x−3)³, żeby się zgadzały współczynniki przy x³ i wyraz wolny. Po rozwinięciu wzoru mamy m i n. Pierwiastek to −3/4

Mila: yolex, masz to napisane 22:11.

Korfi: ⇒pozdro