rownanie kwadratowe Natalia: Czy ktos mógłby pomoc mi rozwiazac to rownanie ? Za kazdym razem wychodzi mi inny wynik √17−× + √17+× = x/4

Mila: D: 17−x≥0 i 17+x≥0 17≥x i x≥−17⇔x∊<−17,17>

	x
√17−x+√17+x=
	4

	x
Lewa strona równania jest dodatnia , to		>0,⇔x>0
	4

obustronnie podnosimy do kwadratu.

	x2
17−x+2√172−x2+17+x=
	16

	x2
2√289−x2+34=		/:2
	16

	x2
√289−x2=		−17 /2 przy zał. x2≥32*17
	32

	x4		17
289−x2=		−		x2+289
	1024		16

x4		1
	−		x2=0
1024		16

	x2		1
x2=0 lub (		−		)=0
	1024		16

	1024
x=0∉D lub x2=		=64<32*17
	16

brak rozwiązań.

PW: 282988 − za nietypowe podejście jestem krytykowany, więc i tu pokażę, że można rozwiązać nieschematycznie. Tak jak pisze Mila − nie ma co szukać rozwiązań dla x ujemnych, więc bierzemy dziedzinę D₁ = [0,17]. Funkcja f po lewej stronie jest malejąca w D₁, co łatwo wykazać licząc pochodną. f(0) = 2√17, f(17) = √34 > 5 − najmniejsza wartość funkcji f przekracza 5.

	x
Funkcja g(x) =		osiąga w D1 wartości od 0 do 4,25.
	4

Równość f(x) = g(x) jest zatem niemożliwa. Moim zdaniem uczeń liceum zaznajomiony z warunkiem dostatecznym monotoniczności jest w stanie wykonać takie rozumowanie, wystarczy raz pokazać.

Benny: powiem Ci ze do matury moze sie przydac takie rozumowanie tylko czy to bedzie tak samo punktowane jak rozwiazanie Mili?

PW: Musi być ocenione maksymalną liczbą punktów, nawet jeśli klucz nie przewiduje takiego rozwiązania. Jest to niemożliwe na maturze, ale gdybym ja oceniał klasówkę − postawiłbym jeszcze jeden punkt więcej − za zastosowanie nowej wiedzy.

Mila: Zgadzam się. Właśnie miałam to napisać. Pozdrawiam PW.

Tadeusz: ... a ja się nie zgadzam − Ostatnie informacje o sprawdzaniu egzaminów świadczą raczej, że ZERO PKT PEWNE −

Mila: Nie czytałam, dlaczego Tadeuszu?

PW: Ty też wątpisz w inteligencję egzaminatorów?

5-latek: Witam Szanowne grono Tadek z tego co wiem to przeciez prace egzaminacyjne z matury sprawdzaja nawet doktorzy z wyszych uczelni to powinno byc to uwzglednione a nie ZERO PUNKTOW Pan doktor mojego znajomego z PWr. w tamtym roku wlasnie sprawdzal

Tadeusz: ... chyba nie czytaliście informacji o udziale błędnie ocenionych w stosunku do odwołań To wprost żenujące ... a już tłumaczenie "przedstawiciela" to ŻENADA³

Benny: a co jesli po lewej stronie byloby odejmowanie?

Benny: I jak z tej funkcji za pomocą pochodnej wykazać, że jest malejąca?

===: Jeśli

	1
f(x)=√17−x+√17+x−		x
	4

to:

	−1		1		1
f'(x)=		+		−		=
	2√17−x		2√17+x		4

Benny: Och już widzę mój błąd nie wziąłem pod uwagę prawej strony równania do pochodnej

Benny: No ale żeby policzyć punkty krytyczne i tak trzeba podnosić do kwadratu

Benny:

−1		1
	+		− 1/4=0
2√17−x		2√17+x

sprowadzam do wspólnego mianownika ale nic to nie daje

Benny: będą tu jakieś punkty krytyczne żeby można było określić monotoniczność?

Benny: PW jak będziesz to mógłbym prosić o wykazanie tej monotoniczności?

Mila: Jeśli f'(x)<0 to f(x) jest malejąca. Jeśli f'(x)>0 to f(x) jest rosnąca.

Benny: No to akurat wiem ale gdy przyrównuje pochodną do 0 to muszę wykonać tyle działań że chyba szybciej wychodzi Twoja metodą to zadanie

Mila: W tym przypadku, trudno wykazać nierówność w sposób tradycyjny.

Benny: A w jaki sposób można inaczej?

PW: Benny − pisałem, że funkcja po lewej stronie równania jest malejąca − to jest pokazać

	x
łatwo. Po co przeniosłeś		na lewą stronę?
	4

Sens rozumowania jest taki: funkcja po lewej jest malejąca, jej najmniejsza wartość dla x = 17 jest nieco większa od 5 (równa √34). Funkcja po prawej jest rosnąca, jej największa wartość osiągana dla x = 17 jest równa 4,25. Dla dowolnej x∊[0, 17] L > 5 > 4,25 = P. Koniec. Dobrze byłoby wykonać rysunek tych dwóch funkcji w jednym układzie współrzędnych. Nie musimy o funkcji po lewej stronie wiedzieć wszystkiego, ważne że jest malejąca. Wykres będzie więc "niedokładny" (nie badamy wypukłości), ale do ilustracji rozwiązania zadania wystarczy.

===: ktoś 6.03 o 20:05 napisał: "Funkcja f po lewej stronie jest malejąca w D1, co łatwo wykazać licząc pochodną."

Jacek: A jak łatwo można pokazać, że ta pochodna jest niedodatnia i niezerowa w całym przedziale? Trzeba chyba rozwiązać nierówność f'(x) <0?

Benny: czyli po prostu policzyć sobie wartości na końcach przedziałów i z tego wywnioskować czy funkcja rośnie czy maleje? nie rozumiem do czego tu pochodna

Mila: Szacowanie. x∊<0,17)

	1		−2		2
f'(x)=		*(		+		−1)
	4		√17−x		√17+x

f'(x)<0 dla x∊<0,17) ponieważ

	−2		2
|		|>		stąd
	√17−x		√17+x

−2		2
	−1+		<0
√17−x		√17+x

prosta:

	−1		1
L'(x)=		+
	2√17−x		2√17+x

	−√17+x+√17−x		√17−x−√17+x
L'(x)=		=		=
	2√17−x√17+x		2√17−x√17+x

( √17−x−√17+x) ( √17−x+√17+x)
2√17−x√17+x( √17−x+√17+x)

−2x
	<0 dla x>0
2√17−x√17+x( √17−x+√17+x)

Jacek: No zasadniczo to jakby pokazać, że jest ≤0 i nie = 0 w całym przedziale to wartości funkcji na 100% nie opadną poniżej wartości na końcu prawym przedziału dziedziny.

PW: L'(x) < 0 na pierwszy rzut oka: mianowniki dodatnie, a w liczniku −√17+x + √17−x < 0, poprzestałbym na tym.

Benny: a zamiast wartości funkcji nie powinno się liczyć granic? czy z czymś mi się to pomieszało?

Mila: Nie komplikuj. Rozwiązuj inne zadania.

Benny: Rozwiązałbym jakieś fajne z poziomu rozszerzonego. Może masz jakieś?

Mila: Z jakiego działu chcesz?

Benny: Mogą być wielomiany, stereometria, analityczna może jakieś ciągi, dowody z wyrażeń algebraicznych?

5-latek: Udowodnic ze dla kazdego kąta x zachodzi rownosc Licznik tego wyrazenia to √cosx+√cos2x*√cosx−√cos2x

	cosx		1+sinx
Mianownik tego wyrazenia to		+
	1+sinx		cosx

	1
Wyrazenie to = +/−		sin2x
	4

o ile tylko wyrazenie po lewej stronie ma sens . Roztrzygnac kiedy po prawej stronie jest (=) a kiedy (−)

5-latek: Po pawej ma byc (+) a nie (=)

Mila: 1) Dla jakich wartości parametrów p i q wielomian: W(x)=64x³+48x²+px+q ma pierwiastek trzykrotny?

Mila: Może załóż nowy wątek.