zadanie z matury zadania.info Michał: Witam, Robiłem próbną maturę z zadania.info i mam pytanie odnośnie jednego rozwiązania. Czy moje rozumowanie jest poprawne? Oto treść zadania: Wykaż, że jeżeli α≤β≤γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, to: sin²α<sin²γ−sin²β (tak, wiem, aż się nasuwa, wykorzystać twierdzenie sinusów, ale nie wpadłem na to) sin²α<(sinγ−sinβ)(sinγ+sinβ)

	γ−β		γ+β		γ+β		γ−β
sin2(γ+β)<(2sin		cos		)(2sin		cos		) |
	2		2		2		2

sinα=sin(180−(α+β))=sin(γ+β) sin²(γ+β)<sin(γ−β)sin(γ+β) |skracam sin(γ+β) po obu stronach, bo różne od 0 sinγcosβ+cosγsinβ<sinγcosβ−cosγsinβ 2cosγsinβ<0 Powyższy wywód jest prawdą, gdyż cosinus kąta rozwartego γ jest ujemny, a sinus kąta ostrego β jest dodatni, więc ich iloczyn jest mniejszy od 0. Co myślicie o tym moim rozwiązaniu? Jest okej, czy nie? Wiem, że to typowe zadanie z matur, ale w ogóle nie wpadłem na to twierdzenie sinusów, za mało zadanek jeszcze zrobiłem. Dzięki, za analizę tych wywodów

Michał: up!

Metis: https://matematykaszkolna.pl/forum/282290.html

Mila: Raczej nie dziel nierówności przez sin(γ+β) , bo trzeba wcześnie ustalić znak wyrażenia. Staraj się przenieść na jedną stronę i wyłączyc przed nawias sin(γ+β), a następnie dalej rozwiązywac.

Mila: Michał staraj się przeprowadzać dowody zaczynając od założenia, nie od tezy. Zał. α≤β≤γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, T. to: sin²α<sin²γ−sin²β D. ΔABC− Δrozwartokątny ( z zał.)⇔ (*) c²>a²+b² Z tw sinusów:

a
	=2R⇔a=2R*sinα
sinα

b
	=2R⇔b=2R*sinβ
sinβ

c
	=2R⇔c=2R*sinγ
sinγ

Podstawiamy do nierówności (*) (2Rsinγ)²> (2Rsinα)²+(2R sinβ)²⇔ 4R²sin²γ> 4R²sin²α+4R²sin²β /:(4R²) sin²γ> sin²α+sin²β ⇔ sin²γ−sin²β>sin²α co zapiszemy : sin²α< sin²γ− sin²β cnw. ================

Michał: Muszę popracować nad tymi zadaniami na dowodzenie, szczególnie z geometrii. Dziekuję Mila za poświęcony czas i wskazówki