Ciągi matthew: Cześć. "Ciąg geometryczny" zad. 1 Czy ciąg a_n=3*5ⁿ⁺² jest ciągiem geometrycznym? Ja zrobiłem je(choć nie do końca) tak: a_n=3*5ⁿ⁺² a_n+1=3*5^(n+1)+2=15ⁿ⁺³

	an+1		15n+3		15n+3
q=		=		=		.... no i dalej nie wiem...
	an		3*5n+2		15n+2

Może mi ktoś pomóc, bądź przynajmniej podpowiedzieć?

ratatatata: nie możesz pomnozyć 3 i liczby 5 z potęgą u góry... zapisz to normalnie 3 się skrócą i zostanie 5⁽n+3)/5⁽n+2) = 5^[(n+3)−(n+2)] i tyle

Nikka: a_n+1 = 3*5ⁿ⁺³

an+1		3*5n+3		5n*53		53
	=		=		=		= 5
an		3*5n+2		5n*52		52

Bogdan: Ciąg (a_n) jest geometryczny ⇔ a_n² = a_n−1 * a_n+1 dla n > 1

Julek: a_n=3*5ⁿ+2 musisz skorzystać z własności Ciągu geometrycznego: (a_n)² = a_n−1 * a_n+1 a₁=3*5³ = 375 a₂=3*5⁴ = 1875 a₃=3*5⁵ = 9375 1875² = 375*9375 Możesz bawić się operacjami na potęgach bądz skorzystać z kalkulatora : 3515625 = 3515625 Tożsamość mówi nam o spełnieniu warunków własności ciągu geometrycznego. Ciąg ten jest geometrycznym Pozdrawiam P.S Ciąg geometryczny charakteryzuje się ilorazem. n w potędze mówi nam o krotności 5. Odrazu można zauważyć, że jest to ciąg geometryczny.

matthew: Czyli ciąg nie jest geometryczny, bo zależy od "n", ktore jest w potędze, tak? dzięki za odpowiedz

Bogdan: a_n² = 9*5^{2n + 4} a_n−1 * a_n−1 = 3*5^{n + 1} * 3*5^{n + 3} = 9*5^{n + 1 + n + 3} = 9*5^{2n + 4} = a_n² a więc ciąg (a_n) jest geometryczny

Julek: własnie, że jest geometryczny Spełnia warunek własności (tylko dla ciągu geometrycznego ) o którym juz pisałem a_n² = a_n−1 * a_n+1 Ciąg geometryczny posiada iloraz. Czyli wartość, przez którą trzeba pomnożyć wyraz aby otrzymać następny np. ciąg geometryczny składający się z trzech liczb (4 ; 8 ; 16) o ilorazie 2. Mnożąc pierwszy wyraż razy iloraz (4*2) trzymałem 8, nastepnie 8 *2 = 16. Różni się to od ciągu arytmetycznego, który posiada różnice. Na przykład ciąg arytmetyczny skladający się z trzech liczb (4; 6; 8). Jak widzisz tutaj sumujemy, a nie mnożymy. 4+2 = 6 i 6+2 = 8 Wszystko sprowadza się do tego, że musisz ocenić po wzorze ogólnym to czy zaznacza on wielokrotność mnożenia jakiejś liczby.

matthew:

	an+1
Czyli tak, ciąg jest geometryczny, gdy q=		vest stałe, niezależne od "n".
	an

Kiedy w zadaniu rozwiązaniem jest 5, to ciąg jest geometryczny? bo w potędze rzeczywiście jest "n" ale jest to krotność liczby 5, dlatego "n" jest niezwiązana bezpośredno z wynikiem końcowym, tak?

matthew: Po prostu w wyniku nie może stać przy liczbie "n" aby ciąg był geometryczny?

Bogdan: Dzień dobry. Z własności ciągu geometrycznego (pokazanej wyżej, a także tu 279), mamy zależność: dla wszystkich wyrazów ciągu (a_n) oprócz wyrazu pierwszego i ostatniego zachodzi równość: a_n² = a_n−1 * a_n+1. Można powiedzieć, że jeśli ta równość przy podanym ograniczeniu zachodzi, to ciąg jest geometryczny. W podanym zadaniu właśnie zachodzi ta równość, bo a_n² = 9*5²ⁿ⁺⁴ oraz a_n−1 * a_n+1 = 9*5²ⁿ⁺⁴, co oznacza, że ciąg a_n = 3*5ⁿ⁺² jest geometryczny. Nie ma potrzeby, a nawet nie powinno się dla uzasadnienia jakiegoś stwierdzenia wprowadzać do rozważań wybranych liczb. Nie można więc nie tracą ogólności, przyjmować: a₁, a₂, a₃. Trzeba prowadzić wywód na wyrażeniach ogólnych, czyli pisząc a_n−1, a_n, a_n+1. Np. tożsamości trygonometryczne uzasadnia się m.in. przez przekształcanie jednej ze stron równości otrzymując w wyniku wyrażenie znajdujące się po drugiej stronie tej równości. Nie wprowadza się wybranych miar kątów do wyrażeń trygonometrycznych. Podsumowując, przy uzasadnieniu trzeba się trzymać wyrażeń ogólnych i nie korzystać z wybranych wartości liczbowych.

Nikka:

	an+1
dlaczego nie wystarczy sprawdzić ile jest równy iloraz		− przecież to nie
	an

są wybrane liczby...

Nikka: (a_n)² = a_n−1*a_n+1 − ten wzór podawano mi jako własność ciągu geometrycznego...

Bogdan: Tak właśnie podałem: "Z własności ciągu geometrycznego ... mamy zależność". Korzystamy z niej przy uzasadnianiu, że ciąg jest geometryczny. Wybrane liczby, to podane przez Julka: a₁, a₂, a₃.

aska: Bogdan pomozesz?

Nikka: mnie uczono inaczej... wystarczy sprawdzić czy iloraz jest stały...

	an+1
czyli sprawdzić ile jest równe
	an

Bogdan: Przepraszam, teraz mam inne zajęcia, wrócę tu po godz. 20