Równania macierzowe
Przemysław: Szukam macierzy, która oprócz innych zastrzeżeń ma spełniać A3=0.
Czy to znaczy, że wynik tego mnożenia ma być macierzą z samymi zerami?
17 lut 21:59
Przemysław: Gdyby ktoś był tak miły to byłbym wdzięczny za odpowiedź
17 lut 22:07
Przemysław: .
17 lut 22:17
Dunedain: Tak, macierz wynikowa powinna składać się z samych zer.
17 lut 22:19
Przemysław: Dzięki
17 lut 22:21
Trivial:
Jeżeli A = PJP
−1, to A
3 = PJ
3P
−1. Zatem A
3 = 0 → J
3 = 0 (bo P jest odwracalne)
Po rozkładzie na klatki Jordana J = diag(J
1, J
2, ..., J
n), czyli J
3 = 0 gdy J
k3 = 0 ∀k.
Klatki Jordana są postaci:
λ
k 1
λ
k 1
J
k= λ
k 1
... ...
λ
k 1
λ
k
Ponieważ (J
k3)
1,1 = λ
k3 to λ
k = 0. A zatem jedyną dozwoloną wartością własną jest 0 i
macierz J
k ma postać:
0 1
0 1
J
k= 0 1
... ...
0 1
0
Zatem
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
... ... ... ...
J
k3= 0 0 0 1
0 0 0
0 0
0
J
k3 = 0 → każdy J
k o λ
k = 0 i rozmiarze co najwyżej 3x3.
Zatem rozwiązaniem ogólnym jest A = PJP
−1 gdzie P jest dowolną macierzą odwracalną, a J
składa się z klatek Jordana o wartości własnej równej zeru i o rozmiarze co najwyżej 3x3 (dla
każdej klatki osobno).
Przykładowa nietrywialna macierz:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Posta%C4%87_Jordana
17 lut 23:25
Trivial:
Inny przykłady:
0 1 0
A= 0 0 1
0 0 0
0 1 0 0
A= 0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
A= 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
17 lut 23:28
Przemysław: Dzięki Trivial
Co prawda jeszcze tego nie umiem, ale będę się uczył, a Twoje posty były b. motywujące
Jeżeli ktoś zna jakieś przykłady dobrych źródeł (online albo książkowych) z algebry z geometrią
to będę wdzięczny (na wikipedii jest często dużo i w niełatwy sposób przedstawione
)
18 lut 00:24
Gray: Ładnie to
Trivial rozpisałeś
Ciekawe jakie są te "inne zastrzeżenia"... Warunek A
3=0
jest bardzo ograniczający.
18 lut 10:05
Gray: Przeszukując forum wbudowaną wyszukiwarką natrafiam w tym wątku na taki wpis "Trivial:
Gray, jakie inne zastrzeżenia?". A tu (powyżej) go nie znajduję. Ktoś wie dlaczego?
18 lut 21:39
Trivial:
Tak. Został przepędzony z tego świata.
A tak na serio, usunąłem go bo źle zrozumiałem to co napisałaś.
18 lut 21:42
b.: wyszukiwarka (czasami?) znajduje posty, które zostały usunięte przez moderatora
18 lut 21:44
Gray: To powinno być prawem zabronione
Taka jedna kobi
Eta w ten sposób tu
280316 małego
idiotę dziś ze mnie zrobiła, co to pyta, czy 1/2 jest liczbą parzystą.
18 lut 21:48
Trivial: Gray, spokojnie. Jakbyś zdążyła odpowiedzieć to bym nie usunął.
18 lut 21:50
Gray: Skąd wiesz, że jestem kobietą... ?
18 lut 21:54
Trivial: Nie wiem. A jesteś?
18 lut 22:08
Gray: Ty tak twierdzisz...
19 lut 00:38
Trivial:
Widocznie zdawało mi się, że widziałem gdzieś końcówkę "−łam". Jeżeli jest inaczej to
przepraszam.
19 lut 19:33
Mariusz:
Mógłbyś pokazać jak znajdować ten rozkład Jordana
Myślę że wystarczy sposób znajdowania macierzy przejścia
Przypadek gdy macierz jest diagonalizowalna jest stosunkowo łatwy
i wystarczy tylko go wspomnieć
Co z przypadkiem gdy macierz nie jest diagonalizowalna ?
Jak wtedy znajdować kolumny macierzy przejścia ?
3 lis 13:42
Benny: Mariusz,
Jeśli masz macierz, która nie jest diagonalizowalna to szukaj jej wektorów własnych.
Macierz jest wymiaru n, a dostałeś k wektorów własnych, więc musisz uzupełnić jeszcze
przestrzeń o n−k wektorów głównych.
Jak szukać wektorów głównych? Zapewne pełno tego jest. Powinieneś z łatwością znaleźć, jeśli
jednak Ci się to nie uda to przypomnij mi w sobotę/niedziele.
3 lis 13:51
Mariusz:
Przedstawiałem ci jak w skryptach rozwiązują układy równań różniczkowych liniowych
o stałych współczynnikach
Jednak na wykładach przedstawiają inny sposób tzn korzystają z rozkładu macierzy
aby obliczyć exponentę
W sieci nie znalazłem tekstu w którym byłoby to wyłożone w sposób zrozumiały
dla kogoś kto umie rozwiązywać układy równań liniowych (te z algebry),
wartości własne i wektory własne
Jak już wcześniej wspomniałem w jednym ze skryptów wprowadzone też było
pojęcie uogólnionego wektora własnego
(A−λI)kv=0
gdzie k to krotność wartości własnej
Jedyne co znalazłem to odnośnik od pdf
z rosyjskiej wiki ale ja ledwo litery cyrylicy znam nie mówiąc o czytaniu tekstu
Dla macierzy
2 −2 −3
2 −3 −6
−1 2 4
Wiesz co powiedział Gilbert Strang
I am not so crazy about Jordan form
więc trudno coś znaleźć będzie po angielsku a jeśli chodzi o rosyjski
to za późno się urodziłem
Wystarczyłoby gdybym urodził się ~10 lat wcześniej
bo jak nie miałem okazji nauczyć się w szkole to teraz nie mam nauczyciela
3 lis 14:27
Mariusz:
Z rozkładem macierzy którą podałem jakoś sobie poradziłem ale
gdybym miał inną macierz która nie jest diagonalizowalna to wątpię czy bym sobie poradził
Przypomnę ci , tobie też się to przyda
3 lis 14:43
