krótka nierówność logarytmiczna don: brakuje mi 1 kroku do ukończenia zadania, a mianowicie pokazać, że log₄5 > log₅6

don: już mam ;3

Pierdyk: 218 na tej stronie masz wzory na logarytmowanie. Zamieniasz podstwe jednego z dwóch

	log46
logarymów. np log56=		mnożysz przez mianownik i masz 2 log45 czyli
	log45

25>6

Tadeusz: ... o ja pierdziut ... nierówność=równanie a log₄²5 to 2log₄5 .... gdzie są takie wzory ?

don: Jednak nie mam, bo się pomyliłem Pierdyk faktycznie troche herezje wypisał. Jakby ktoś pomógł byłbym wdzięczny.

bednius: ktoś coś?

pigor: ... , a może warto inaczej zacząć twój problem , podaj więc swoje zadanie od początku w oryginale ...

bednius: Wykaż log₄5 + log₅4 > log₅6 + log₆5

PW: Zauważmy, że jeśli log_ab = x i log_ba = y, to znaczy a^x = b i b^y = a, to po podniesieniu drugiej z równości do potęgi X otrzymamy b^xy = a^x, co po podstawieniu pierwszej równości daje b^xy = b. Oznacza to, że (1) xy = 1 (mogłoby oznaczać, że b = 1 lu b = 0, ale to jest niemożliwe, gdyż b jest podstawą logarytmu). Równość (1) oznacza, że (log_ab)(log_ba) = 1. Zarówno po lewej jak i po prawej stronie badanej nierówności mamy zatem sumy dwóch liczb dodatnich, z których jedna jest odwrotnością drugiej. Nierówność ta ma zatem postać

	1		1
u +		> v +		.
	u		v

Myślę, że zbadanie monotoniczności funkcji

	1
f(x) = x +
	x

powinno dać rozwiązanie problemu.

PW: Może niepotrzebnie podawałem dowód faktu, że (log_ab)(log_ba) = 1, gdyż jest to znany wzór, ale niech tam.

bednius: Czyli mam funkcje f(x) = log₅x + 1/log₅x i teraz trzeba pokazać, że rośnie w przedziale <4,6>, tak?

bednius: Coś mi się nie zgadza, bo ta funkcja faktycznie rośnie w tym przedziale, czyli f(6)>f(4) czyli dokładnie odwrotnie to co mam udowodnić

PW: Myślę, że zbadanie monotoniczności funkcji

	1
(1) f(x) = x +
	x

powinno dać rozwiązanie problemu. Tak napisałem, bo wydaje mi się, że trzeba oderwać się od szczegółów. Obie strony badanej nierówności są wartościami funkcji (1), w dwóch różnych punktach − lewa strona jest wartością funkcji f dla x = log₄5, a prawa dla y = log₆5. Wiemy, że log₄5 > log₆5 (a jeśli nie wiemy, to łatwo pokazać, rzecz jest intuicyjnie oczywista). Obie te liczby należą do (1,∞). Gdyby udało się udowodnić, że funkcja f jest na tym przedziale rosnąca, to koniec dowodu − badana nierówność jest prawdziwa, większemu argumentowi log₄5 odpowiada większa wartość funkcji: f(log₄5) > f(log₆5). Nie badałem monotoniczności f, ja tylko podpowiadam (nawet nie mam pewności czy podpowiedź jest skuteczna), ale ustal przedziały monotoniczności funkcji f.

pigor: ..., o , znalazłem tę nierówność; teraz idę spać, ale spróbuję swoje 3 grosze dodać jak się wyśpię. ..

Eta: Wykaż,że : log₄5+log₅4>log₅6+log₆5 Jeżeli taka nierówność zachodzi to przekształcamy ją równoważnie log₄5−log₆5>log₅6−log₅4 / *(log₅4*log₅6) log₅6−log₅4>(log₅6−log₅4)*log₅4*log₅6 (log₅6−log₅4)(1−log₅4*log₅6)>0 log₅6−log₅4>0 to 1−log₅4*log₅6>0 ⇒ log₅4*log₅6<1 wykazuję z nierówności między średnimi gm−am √log₅4*log₅6<0,5(log₅4+log₅6) /² log₅4*log₅6<0,25*log²24< 0,25log²25= 0,25*2²=1 c.n.w.

Eta: Miłych snów nocnym Markom

gargamel: Etusiu slodkich snów

zyd: Eta super