g.: zbadaj, który z szeregów jest zbieżny bezwzględnie,a który zbieżny, ale nie zbieżny bezwzględnie. (-1)ⁿ * 5ⁿ ----- = no i tutaj chciałabym policzyć wg twierdzenia Leibniza. (n+4)ⁿ te 5ⁿ / (n+4)ⁿ liczę wg kryterium Cauchy'ego i wychodzi mi 5/ n+ 4 tak więc lim = 0 i cały szereg jest zbieżny bezwzględnie. (-1)ⁿ 1 -------------- = tutaj zrobiłam coś takiego. (-1)ⁿ * ------------------- (³√nⁿ)² (³√nⁿ)² liczę jak w poprzednim przykładzie i mam, że lim=0 tak więc cały szereg jest bezwzględnie zbieżny. dobrze? czy może stworzyłam "nową matematykę"?

b.: ,, no i tutaj chciałabym policzyć wg twierdzenia Leibniza. te 5n / (n+4)n liczę wg kryterium Cauchy'ego i wychodzi mi 5/ n+ 4 tak więc lim = 0 i cały szereg jest zbieżny bezwzględnie.'' czyli jednak nie z tw. L., tylko z kryterium C. -- ale dobrze w drugim też dobrze, z kryt. C. mamy bezwgledną zbieżność.

g.: uuu, super. jestem z siebie dumna teraz mam coś trudniejszego.... cos n "pi" ------------ =cos lim n "pi" / n² = to będzie coś z tym 1/n. tylko co z tym "pi" ..... n²

b.: cos n "pi" ------------ =cos lim n "pi" / n² n² hmm że co? po lewej stronie jest jakiś ciąg, po prawej granica - ale dlaczego pomiędzy jest równość Tutaj kryterium Cauchy'ego nic nie da. Zbieżność można dostać z kryterium L., ale lepiej od razu pokazać bezwgzl. zbieżność z kryterium porównawczego...

g.: no kurczę napisałam tak, żeby było szybciej... cos n "pi" ------------ n2 to jest ten mój przykład do zrobienia. piszesz, że od razu pokazać z kryterium porównawczego.... hmmm... tylko mnie paraliżuje to cholerne "pi" no i ten cosinus.... mam pustkę w głowie.

Marcin: cosnπ/n² < 1/n² - zbieżny czyli dany też zbieżny

b.: Nie dawałbym od razu rozwiązań poprawka: | cosnπ/n² | ≤ 1/n² Moduł po lewej jest potrzebny żeby zbieżność wywnioskować: Np. -1/n < 1/n² szereg ∑1/n² jest zbieżny, ale ∑(-1/n) - rozbieżny

b.: A poza tym, jak nietrudno zauważyć, cos(nπ) = (-1)ⁿ

g.: czyli tutaj też ten szereg harmoniczny rzędu alfa się pojawia, tak? to skąd się wzięła ta jedynka u góry po prawej? | cosnπ/n² | ≤ 1/n² cos(nπ) = (-1)ⁿ ( skąd to wiesz?)

b.: to skąd się wzięła ta jedynka u góry po prawej? | cosnπ/n² | ≤ 1/n² Hmm która jedynka? ta w liczniku? po prostu |cos x| ≤ 1 dla wszystkich x∈R cos(nπ) = (-1)ⁿ ( skąd to wiesz?) wstaw sobie kilka wartości n lub narysuj wykres cos x, to też zobaczysz (A jeśli chcesz udowodnić, to można np. przez indukcję - ale nie przesadzajmy, w to można uwierzyć jak się narysuje cos x )

b.: Tak, tutaj też się szereg harmoniczny (rzędu 2) pojawia - i dlatego z Cauchy'ego się tu nie da

g.: |cos x| ≤ 1 dla wszystkich x∈R a jest cos π = 0 , czyli dlatego?

b.: Hmm... cos 0 = 1 cos π = -1 cos 2π = 1 cos 3π = -1 itd.

g.: a no tak, źle spojrzałam. i ostatnie.... mam przykład : sin n π ----- 2 -------------- n² sin n π = 0, czyli będzie w liczniku 1/2 / n² czyli 1/2 * 1/n² czyli zbieżny, bo a =2 ? sin n π ----- 1 1 1 2 -------------- = ----- * ---------- < ------------ n² 2 n² n² pewnie jest źle...

b.: ,,sin n π = 0, czyli będzie w liczniku 1/2'' No wiesz, jeśli jest (sin nπ)/2 to będzie 0, a jeśli jest sin(nπ/2) (i tak pewnie jest), to to nie będzie 0 (tylko na przemian 1,0,-1,0,1,0,....) jest zbieżny, dokładnie ten sam argument co dla kosinusa: |sin(nπ)/2| ≤ 1, czyli |sin(nπ)/2|/n² ≤ 1/n² (pamiętaj o modułach!)

g.: kurka wodna.. skąd Ty wiesz, że ten cos n π = 1 a ten sin (nπ/2) to 1,0, -1....

b.: nie przejmuj się, tutaj to jest zupełnie niepotrzebne... a wiesz, jak wyglądają wykresy funkcji sin i cos? popatrz np. na wykres funkcji sinus: 426 i na to, jakie wartości przyjmuje w punktach nπ/2, czyli w punktach π/2, π, 3π/2, 2π, 5π/2, ... jak widzisz, są to 1, 0, -1, 0, 1, ... żadna filozofia, naprawdę ale tutaj wystarczyło wiedzieć, że |sin x| ≤ 1, |cos x|≤1

g.: no patrzyłam na ten wykres, ale szczerze to nic z niego nie rozumiałam. już mnie oświeciło czyli w tym przykładzie z cos i sin wyjdzie to samo i te szeregi będą zbieżne bezwzględnie?

b.: tak jest, zbieżne bezwzględnie

g.: dzięki wielkie! ciężko było ale pomogłeś mi baardzo

b.: proszę bardzo a teraz idę spać - więc jakby co, może jutro odpowiem - albo ktoś inny

g.: ok dobranoc chyba poczekam na Ciebie

a: Dlaczego skoro z kryterium Cauchy'ego lim=0 to od razu mozemy wywnioskowac ze szereg jest bezwzglednie zbiezny?

kk:

	n!*pi
sin		jak zbadać czy spełnia warunek konieczny zbieżności? jak ta granice policzyć?
	6