Relacje, a klasy abstrakcji Karl: Dla każdego z podanych przypadków relacji R ⊇ A² mam sprawdzić czy relacja jest typu równoważności, a jeśli tak wyznaczyć ile jest klas abstrakcji. Założmy, że dla podanych zbiorów relacje są równoważne. Przykładowo dla zbioru A = {1, 2, 3, 4}, ilość klas abstrakcji wynosi 4, a dla zbioru A = N nieskończenie wiele?

PW: A co Ty opowiadasz? O liczbie klas abstrakcji decyduje definicja relacji, a nie liczność zbioru A. Weź na przykład relację aRb ⇔ |a − b| dzieli się przez 2 określoną dla liczb naturalnych. Jak myślisz − ile ma klas abstrakcji?

Karl: Żadnej według tego jak rozumiem. A klase abstrakcji rozumiem tak, że przyjmujemy za a jakąś wartość ze zbioru i to a z każdym b jest w relacji. I to jest jedną klasą abstrakcji. Tutaj nie ma takiej liczby.

PW: Oj, to rzeczywiście nie rozumiesz. Czytaj przykłady w dowolnym podręczniku, tutaj 186425 jest wytłumaczone na krowach.

Karl: To załóżmy tutaj klasę abstrakcji o reprezentancie 1 [1] = { 1−1, 1−3, 1−5... } i tak dla każdego reprezentanta w nieskończoność możemy wypisywać pary liczb. Nie wiem w dalszym ciągu jak mam stwierdzić ile konkretnie dana relacja ma klas abstrakcji.

Gray: Może podaj te relacje które masz zbadać. Dyskusja o niczym jest dyskusją o niczym. Jeżeli masz relację określoną w zbiorze A, który ma cztery elementy, to klas abstrakcji może być co najwyżej cztery; a co najmniej jedna. Gdyby były dokładnie cztery, to byłby to przypadek, w którym każdy element zbioru jest jedynie sam ze sobą relacji. W przeciwnym przypadku, gdyby np. 1 była w relacji z 2, to [1]=[2].