Wykazać, że relacja jest relacją równoważności. Bardzo proszę o pomoc :( Anka: Wykazać z definicji, że relacja S ⊂ ℤ x ℤ taka, że (x,y) ∊ S ⇔ (∃k ∊ ℤ x−y=5k) jest relacją równoważności. Narysować wykres relacji S oraz wyznaczyć klasę równoważności (abstrakcji) dla x=1. ℤ − l. całkowite. Z góry dziękuję za pomoc. Wiem, że trzeba sprawdzić zwrotność, symetryczność i przechodność, ale nie wiem jak to zrobić... A te klasy równoważności, to już w ogóle mnie przerastają.

PW: Jeżeli a∊ℤ, to (a,a)∊S, bo a−a=5•0 (relacja jest zwrotna). Jeżeli a, b∊ℤ, to z faktu, iż (a,b)∊S wynika (b, a)∊S (relacja jest symetryczna). Stwierdzenie to wlaściwie nie wymaga dowodu − jest oczywiste, że jeśli różnica a−b dzieli się przez 5, to b−a też. Formalista zapisze: (a, b)∊S ⇔ a−b=5•k ⇒ b−a=−5•k ⇔ (b, a)∊S. Jeżeli a, b, c∊ℤ, to (a−b=5•k ⋀ b−c=5•m) ⇒ a−c=5•(k+m) (wystarczy dodać stronami), co oznacza, że relacja jest przechodnia. Formalnie można to zapisać podobnie jak w wypadku dowodu symetryczności. Relacja S jest więc relacją równoważności. Klasą abstrakcji o reprezentancie 1 jest zbiór [1] = {x∊ℤ : (1, x)∊S} = {x∊ℤ : ∃k ∊ ℤ (1−x=5•k)} = {x∊ℤ : ∃k ∊ ℤ (x=1−5•k)}, czyli bardziej obrazowo [1] = {1, 1−5, 1+5, 1−10, 1+10, 1−15, 1+15, ...} = {1, −4, 6, −9, 11, −14, 16, ...} Słowami : [1] to zbiór wszystkich liczb całkowitych różniących się od 1 o całkowitą wielokrotność 5. Klasy abstrakcji nie są pojęciem, które powinno kogoś przerastać, można je wytłumaczyć nawet na krowach. Relacja "mieć tyle samo czarnych łat" jest w zbiorze krów relacją równoważnościową. [Mućka] = zbiór wszystkich krów, które tak jak Mućka nie mają wcale czarnych łat. [Krasula] = zbiór wszystkich krów, które tak jak Krasula mają jedną czarną łatę. i tak dalej.

PW: A zapomniałem. "Wykres". Nie za bardzo mi się podoba to polecenie. Jak sam autor zadania pisze − relacja to pewien podzbiór iloczynu kartezjańskiego, czyli pewna część zbioru par uporządkowanych (a,b) Raczej nie mówi się "narysuj wykres zbioru" , po prostu "narysuj zbiór". Polecenie powinno brzmieć "narysuj relację S". Dla k=0 trzeba narysować zbiór par (x,y), dla których x−y=0, czyli y=x. Byłaby to prosta, gdyby nie to, że poruszamy się tylko wśród par liczb całkowitych, a więc rysujemy tylko te punkty prostej, które mają współrzędne całkowite. Dla k=1 rysujemy poprzedni zbiór przesunięty w dół o 5 (współrzędne spełniają równanie x−y=5, tzn. y=x−5. Dla k=−1 ten pierwszy zbiór przesuwamy w górę o 5, i tak dalej.

Anka: Bardzo dziękuję