indukcja matematyczna leonardo: Pomóżcie Proszę... 1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)²

evil_woodworm: Masz problem z drugim krokiem, czy ogólnie nie rozumiesz? Jeżeli tylko z drugim, to podpowiedź: Zapisz, to co masz w nawiasie jako sumę ciągu arytmetycznego.

Nestor: lewa strona zobacz tu: 27236 prawą strona:

	n(n+1)
1+2+3+..... +n =		−−− to wzór na skończoną sumę kolejnych liczb naturalnych
	2

	n(n+1)
więc (1+2+3+..... +n)2 = [		]2
	2

czyli L=P

leonardo: Dzięki

AS: Do obliczenia sumy sześcianów pierwszych n liczb naturalnych będą potrzebne wcześniej wyprowadzone związki:

	n
S[1] = 1 + 2 + 3 + ... . + n =		*(n + 1)
	2

	n
S[2] = 12 + 22 +32 + ... + n2 =		*(n + 1)*(2*n + 1)
	6

Obliczam sumę sześcianów pierwszych n liczb naturalnych Zachodzi zwiążek: (x + 1)⁴ − x⁴ = 4*x³ + 6*x² + 4*x + 1 dla x = 1,2,3,4... n otrzymujemy 2⁴ − 1⁴ = 4*1³ + 6*1² + 4*1 + 1 3⁴ − 2⁴ = 4*2³ + 6*2² + 4*2 + 1 4⁴ − 3⁴ = 4*3³ + 6*3² + 4*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)⁴ − n⁴ = 4*n³ + 6*n² + 4*n + 1 Stronami dodajemy 4⁴ − 3⁴ + 3⁴ − 2⁴ + 2⁴ − 1⁴ = = 4*(1³ + 2³ + ... + n³) + 6*(1² + 2² + ... + n²) + 4*(1 + 2 + ... + n) + n Oznaczając przez S = 1³ + 2³ + ... + n³ i wstawiając wzory na sumę kwadratów mamy

	n		n
(n + 1)4 − 14 = 4*S + 6*		*(n + 1)*(2*n + 1) + 4*		*(n + 1) + n
	6		2

n⁴ + 4*n³ + 6*n² + 4*n + 1 − 1 = 4*S + n*(n + 1)*(2*n + 1) + 2*n*(n + 1) + n 4*S = n⁴ + 4*n³ + 6*n² + 4*n − n*(2*n² + 3*n + 1) − 2*n² − 2*n − n 4*S = n⁴ + 2*n³ + n² 4*S =n²*(n² + 2*n + 1)

	1
S =		*n2*(n + 1)2 = (1 + 2 + ... + n)2
	4

AS: Uzupełnienie − proszę dopisać Stronami dodajemy (n + 1)⁴ − n⁴ + ... + 4⁴ − 3⁴ + ...