Zadania z kombinatoryki monika: Ma problem nie przerobiliśmy do egzaminów kombinatoryki i musimy sami sie z tym uporać. Proszę o pomoc. 1. Jaka jest szansa że losow wylosowana liczba ze zbioru {1,2,1....1000} będzie podzielna przez 3,4 lub 5. 2.Dwanaście identycznych listów wrzucamy do czterech różnych skrzynek. a)ile jest takich mozliwości − (czy będzie kombinacja?) b)ile jest możliwosci gdy do każdej ze skrzynek musza trafić co najmniej 2 listy. 3a).Ile liczb czterocyfrowych ze zbioru {3,4,5,6,7} b) Ile sposobów liczby z punktu a ma jakies powtarzające się cyfry c) Ile jest liczby z części "a" podzielnych przez 2 d) ile z części "a" jest liczb większych od 5000 4.a) Na ile sposobów mozna ustawić litery a,b,c,d,e,f w takiej kolejności by a i b sąsiadowały ze sobą? b) Na ile sposobów mozna ustawić litery a,b,c,d,e,f w takiej kolejności by litery a i b nie sąsiadowały ze sobą? c) Na ile sposobów mozna ustawić litery a,b,c,d,e,f w takiej kolejności by litery a i b sąsiadowały ze sobą a litery a,c nie? 5. Niech∑ będzie alfabetem {a,b,c,d,e} i ∑do k={w ∊ ∑*: dlugość(w)=k}. Ile elementów mają następujące zbiory a) k= 1,2,3,4 (wiem jak to policzyć z drzewka ale muszę wzorami − i nie wiem które wybrać − wyniki to nie problem) b)w∊∑³: by żadna litera nie powtarzała się, c)w∊ ∑⁴: litera c wystepuje w w dokładnie 1 raz d)w∊ ∑⁴: litera c wystepuje w w co najmniej 1 raz

Mila: 1) A− Zbiór liczb podzielnych przez 3, B − zbiór liczb podzielnych przez 4 C − zbiór liczb podzielnych przez 5 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|

	1000
|A|=[		]=333
	3

itd To liczyłaś na pewno wiele razy.

Mila: 2) a) zadanie równoważne z obliczeniem liczby rozwiązań równania w zbiorze liczb naturalnych: x₁+x₂+x₃+x₄=12, x_i∊N kombinacja z powtórzeniami n=12 k=4

12+4−1 4−1		15 3
	=

b) zadanie równoważne z obliczeniem liczby rozwiązań równania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. x₁+x₂+x₃+x₄=12 i x_i≥2⇔ (x₁+2)+(x₂+2)+(x₃+2)+(x₄+2)=12⇔ x₁+x₂+x₃+x₄=4

4+4−1 4−1		7 3
	=

monika: Jeżeli chodzi o zadanie 1 to nie powinien wyjść ułamek? W końcu pytanie brzmi jaka jest szansa .

Mila: Pierwsze zadanie musisz dokończyć:

	|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|
P(A∪B∪C)=
	1000

monika: Zrobiłam to 1. A co do drugiego Czy to aby na pewno z powtórzeniami są kombinacje/ Bo koperty nie możemy wyjąc ze skrzynki już?

monika: Mam tez pytanie dlaczego jest 15 po 3?

PW: W zadaniu 2. mamy do czynienia z 12 nierozróżnialnymi przedmiotami (są to np. bezadresowe listy reklamowe), które można umownie traktować jak jednakowe kule. Rozróżnialne są skrzynki (powiedzmy, że mają numery 1, 2, 3 i 4). Tworzenie podzbiorów z nierozróżnialnych elementów niektórzy nazywają kombinacjami z powtórzeniami przez analogię do tworzenia podzbiorów z elementów zbioru o każdym elemencie różnym od pozostałych. W szkole średniej nie wprowadza się takiego pojęcia. W gruncie rzeczy idzie o liczbę rozwiązań równania (1) x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 12. Liczba x_j oznacza liczbę listów włożonych do skrzynki nr j (x_j może być zerem), j=1, 2, 3, 4. Liczba rozwiązań równania (1) wyraża się wzorem

	n+k−1 k−1
		,

	15 3
który podała Mila 1 stycznia o 22:06. Zastosowanie tego wzoru daje		i nie ma co o

tym dyskutować. Skąd się wziął taki wzór, to kwestia ciekawości intelektualnej, trzeba gdzieś poszukać dowodu albo przyjąć ten wzór "na wiarę". Tak samo przecież jest ze zwykłym wzorem na liczbę kombinacji wprowadzonym w liceum − jedni są ciekawi dowodu, inni po prostu uczą się wzoru i mówią "bo tak się to robi". Dla ciekawych mamy opowieść jak można dojść do wzoru − 204660 − o 16 piłkach wkładanych do 4 pojemników.

monika: Dzięki