Rachunek Prawdopodobieństwa Kuba: Oblicz, ile jest liczb 5−cyfrowych o sumie cyfr 4.

Mila: I sposób (żmudne liczenie) 1) 4=4+0+0+0+0 40000 − jedna liczba 2) 4=1||+1+1+1+0 Jedynka na pierwszym miejscu:

4!
	=4 − 4 liczby
3!

3) 4=2||+2+0+0+0 Cyfra 2 na pierwszym miejscu

4!
	=4 − 4 liczby
3!

4) 4=2||+1+1+0+0

4!		3*4
	=		=6
2!*2!		2

5) 4=1||+2+1+0+0

4!
	=12
2!

6) 4=3||+1+0+0+0 4=1||+3+0+0+0

	4!
2*		=8
	3!

Razem: 1+4+4+6+12+8=35 II sposób Liczba rozwiązań nieujemnych całkowitych równania: x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=4 i x₁≥1⇔ x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=3

3+5−1 5−1		7 4
	=		=35

panpawel: To można zrobić znacznie prościej Mamy liczbę postaci: | | | | | | i mamy 4 kropki do wykorzystania Przynajmniej jedna kropka jest w pierwszym okienku, bo liczba jest pięciocyfrowa. Teraz zostają nam 3 kropki do wykorzystania. no i teraz mamy 5 okienek i 3 kropki. | . . . | Chcemy wystawić kreski pomiędzy kropki.

	7 4
Możemy to zrobić na		sposobów.

Koniec.

Kuba: Milu, mogłabyś wytłumaczyć II sposób?

Mila: Tu masz teorię. http://rdsmaths.blogspot.com/2014/08/how-many-solutions-of-x-y-z-k.html Rozwiązać równanie: x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=4 w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych jest równoważne z problemem na ile sposobów możesz zapisać liczbę 4 w postaci sumy 5 składników naturalnych , z tym, że x₁ nie może być równe 0. W takim razie x₁≥1 i mamy równanie: x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=3 I tak sytuację :4=1+1+2+0+0 Można to obrazowo przedstawić, że masz 5 szuflad i do pierwszej szuflady włożono jedną kulę, do drugiej 1 kulę do trzeciej 2 kule do czwartej i piątej nie włożono kul (0 kul). Kule są nierozróżnialne (identyczne). Liczba wszystkich rozwiązań nieujemnych całkowitych wyraża się wzorem:

n+k−1 k−1
	gdzie n=3, k=5⇔

3+5−1 5−1

To są kombinacje z powtórzeniami, podałam link do teorii. ( Matematyka dyskretna− studia) Uzasadnienie obrazowe wzoru podał PW, nie mogę znaleźć. Może tu spojrzy i da adres. Przeanalizuj i możesz dalej pytać.

Mila: Słabo znam angielski, tam w podanym adresie, rozważano chyba tylko dla dodatnich rozwiązań. Poszukam innej teorii.

Kuba: troche to rozumiem ale skoro nie ma tego na poziomie liceum, to nie mam czym się przejmować.

Mila: W wielu przypadkach bardzo przydatne. Wzór warto zapamietać. Wg wzoru rozwiąż . 1) Ile jest liczb dwudziestocyfrowych , w których suma cyfr jest równa 4. W zbiorze Kurczab, Świda (III LO) jest takie zadanie . 2) Ile rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych ma równanie: x+y+z=10 3) Ile rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych dodatnich ma równanie: ( to inaczej rozwiązujemy) x+y+z=10

PW: Milu. to dla mnie zaszczyt, że uważasz moje wytłumaczenie 204660 za godne polecenia

Mila: Zawsze Twoje teoretyczne rozważania są godne polecenia. Pozdrawiam.

Kuba: 1. x1+x2+...+x20=4 x1≥1 x1+x2+..+x20=3

n+k−1 k−1
	n=3 , k=20

3+20−1 20−1		22 19
	=		= 1540

2. x+y+z=10 n=10 k=3

10+3−1 3−1		12 2
	=		= 66

3.x+y+z=10

	n−1 k−1
liczba rozwiązań dodatnich:

n=10, k=3

10−1 3−1		9 2
	=		= 36

Kuba: znalazłem jeszcze jedną ciekawą stronę: http://smurf.mimuw.edu.pl/node/813

Kuba: w sumie to jest naprawdę przydatne. w przykładowym arkuszu z CKE było zadanie: Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. i można to zrobić w zaledwie 2 minuty

....: Bardzo ładnie to opanowałeś.

kit: odświęże wątek mam pytanie odnośnie posta z 18:10 − nie rozumiem z czego wynika, że jeżeli x₁>=1 to ta suma się zmienia z 4 na 3