Wykazać rozbieżność ciągu. pulikowski: Należy wykazać, że ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności. a_n=ⁿ√n!

pulikowski: Dobrze nie widać, pierwiastek jest stopnia n.

zombi: 1. sposób, skorzystaj z lematu:

an+1
	→ g ⇒ n√an → g (weź tutaj an = n!)
an

2. sposób, pokaż, że a_n jest rosnący i nieograniczony z góry.

niechciany:

	n
an = n√n! = // wzór Stirlinga // =		* (2πn)1/2n → ∞
	e

zombi: Ja tam zawsze staram się unikać tego Stirlinga

Saizou : zombi tylko że jak się lematu nie zna to trzeba sobie go wykazać

pulikowski: Na początku próbowałem drugiego sposobu, ale nie mam pojęcia jak pokazać, że jest rosnący. a_n+1−a_n>0, tylko jak to zrobić w tym przypadku?

Godzio: Można też z definicji

Gray: Nie wiem jak dużo wiesz... Rozwiązanie, które proponuję nie jest banalne. Może kogoś natchnie i znajdzie się łatwiejsze Zacznijmy od tego

n√n!
	= eln [n√n!/n]
n

Zajmę się samym wykładnikiem:

	ln[n!/nn]		1   2   n   ln + ln +...+ln   n   n   n
ln [n√n!/n] = ln(n!/nn)1/n =		=
	n		n

	1		k
=		∑ln		, gdzie suma jest od k=1 do n.
	n		n

Taka suma z definicji całki Riemanna zmierza do ∫lnxdx, gdzi całka jest po przedziale [0,1]. Ponieważ ∫lnxdx = x(lnx−1) + c Zatem całka po przedziale [0,1] to −1.

	n√n!
Wniosek: skoro		= eln [n√n!/n] →e−1 to licznik musi zmierzać do
	n

nieskończoności.

pulikowski: Problem w tym, że jeszcze mało wiem. Chciałbym wykazać rozbieżność z definicji: ∀ε>0 ∃ M ∀ n>M a_n>ε ⁿ√n!>ε ¹_n > log_n!ε ¹_logn!ε>n Dla dowolnej ustalonej liczby istnieje taki numer wyrazu ciągu (¹_logn!ε>n) że wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od niego są już większe od tej liczby. Czy to jest ok?

Godzio: Bardzo nie ok, bo niby co to !ε

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/forum/256169.html 26 sierpnia 00:25

pulikowski: Jakiś tam ustalony przez nas, dowolnie mały epsilon. No taką mam definicję.

Godzio: A ten wykrzyknik?

pulikowski: To jest logarytm o podstawie n!

Godzio: Hmm, ciekawe działania, jednak niepoprawne.

Godzio: Bo co Ci to da skoro masz mieć n po jednej stronie, a ε po drugiej? Zobacz rozwiązanie z linka i powiedz czy rozumiesz.

pulikowski: Nie rozumiem skąd wzięło się to: ⁿ√(2M − 1)! * (2M)^{n − 2M}