podaj granice ciągu. prosze o pełną odpowiedź Adam: a₁=3,..., a_n+1=¹₂(an+³_an)

Saizou : zrób analogicznie https://matematykaszkolna.pl/forum/267603.html

Adam: Niestety to zadanie nie pomogło proszę dalej o pomoc

===: ... to Ty może wpisuj treść zadania a nie jakieś swoje reminiscencje https://matematykaszkolna.pl/forum/271217.html

Gray: Łatwo zauważyć, że a_n>0 dla n∊N.

	x2+3
an+1=F(an), gdzie F(x)=		.
	2x

	4x2 − 2x2 −6		(x−√3)(x+√3)
F'(x) =		=		,
	4x2		2x2

zatem F ma w x₀ = √3 minimum. Łatwo sprawdzić, że jest to minimum globalne dla x>0. Dodatkowo funkcja F maleje na przedziale (0,√3) i rośnie na przedziale (√3,+∞) oraz F(√3) = √3. Oznacza to, że F(x)≥√3 dla x>0. Stąd a_n+1 = F(a_n)≥√3 dla n∊N. To pozwala wnioskować, że różnica

	3		an		3−an2		(√3−an)(√3+an)
an+1−an =		−		=		=
	2an		2		2an		2an

jest niedodatnia; ciąg a_n jest więc nierosnący. Aby był zbieżny wystarczy, aby był ograniczony od dołu. Wiemy, że jest przez √3 (pokazałem to wyżej). Jest więc zbieżny. Jego granica spełnia warunek F(x)=x; jest więc równa √3. Odp: a_n→√3. Koniec

zombi: Ograniczenie chyba prościej pokazać, z nierówności między średnimi am i gm. Bo

	3
an+1 = U{an+		}{2] ≥ √3. Koniec.
	an

zombi:

3   an +   an
	≥ √3
2

Gray: Napisałem to co napisałem, bo wiem, że często pojawiają się zadania dotyczące granic ciągów rekurencyjnych. I one zwykle sprawiają problemy. W zaproponowanym rozwiązaniu jest bardzo uniwersalna metoda − zadziała w wielu pozornie beznadziejnych przypadkach. Nierówność między średnimi tutaj daje radę (przyznaję bez bicia − nie zauważyłem tego ), ale w innym przypadku może być bezużyteczna. Zauważyłem jeszcze jedną prawidłowość. Jak nie ma żadnego rozwiązania zadania to nie ma, i nie ma, i nie ma. A jak pojawi się jakieś jedno, to zaraz pojawiają się kolejne... Kiedyś celowo napisałem bzdurne rozwiązanie do nierozwiązanego od dłuższego czasu zadania, aby sprowokować dyskusję. I efekt został osiągnięty − pojawiły się prawidłowe rozwiązania

zombi: Heh, czyli rzucasz wniosek, że każde zadanie ma więcej niż jedno rozwiązanie? Może to być skutkiem tego, że pierwsze rozwiązanie "otwiera oczy" i później jak już wiadomo co jak ma wyglądać to można szukać nowych innych rozwiązań

razor: http://meta.wikimedia.org/wiki/Cunningham%27s_Law

Gray: Dokładnie Nie znałem tego.

Gray: "Heh, czyli rzucasz wniosek, że każde zadanie ma więcej niż jedno rozwiązanie?". Tak