Indukcja Ania: Korzystając z indukcji matematycznej uzasadnij nierówności: a) 2ⁿ > n² dla n≥5 b) 1/1² +1/2² +...+ 1/n² ≤ 2 −1/n dla n ∊ N

bezendu: a) jeżeli n=5 to nierówność ma postać 2⁵>5² i jest to prawda zakładam prawdziwość dla każdej liczby n, n≥5. Teraz trzeba pokazać, że dla n+1 więc 2ⁿ⁺¹>(n+1)² Korzystam z założenia indukcyjnego 2ⁿ⁺¹−2ⁿ*2>2n²=n²+n² Teraz trzeba sprawdzić n²≥2n+1 dla n≥5 n²≥2n+1⇔n²−2n−1≥0⇔n²−2n+1≥2⇔ ⇔(n−1)²≥2 QED b) zrób sama analogicznie

Ania: nie rozumiem skąd sie wzieła ta linijka 2ⁿ⁺¹−2ⁿ*2>2n²

kyrtap: 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2 > (z zał) 2 * n²>(n+1)² 2 * n²>(n+1)²

Ania: to co teraz napisałeś doskonale rozumiem ale nadal nie wiem skąd sie wzieło w tej linijce −2ⁿ*2>2n²

bezendu: Umiesz szacować ?

Ania: nie

Ania: PROSZĘ O POMOC ! Pliska nie zostawiajcie mnie z tym samej

Ania: help !

kyrtap: Ania bierzesz lewą stronę nierówności 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2 potem korzystasz z założenia (jeżeli 2ⁿ >n² to 2ⁿ *2 > n² *2 ) stąd masz 2ⁿ *2 > n² *2 > (n+1)² (jeżeli skorzystałaś z założenia to przepisujesz prawą stroone nierówności która jest w tezie i liczysz dla jakich n ∊ N nierówność n² * 2 > (n+1) ² jest prawdziwa

Ania: ok teraz juz chyba zrozumiałam wielkie dzieki za pomoc

Ania: pomozesz zrobić b ?

kyrtap: czekaj

kyrtap: https://matematykaszkolna.pl/forum/266592.html

kyrtap: 2n − 1 ≤ n(2n+1)(n+1) zakończyłem w tamtym poście na tej nierówności swój wywód i zaraz ją dokończę

kyrtap: 2n − 1 ≤ 2n³ +3n² + n 2n³ + 3n² + n≥ 2n−1 2n³ + 3n² − n + 1≥ 0 to jest zawsze prawdziwe dla n∊N Zatem L≤P c.n.d