granice Karolina:

	3nn!
limn→∞=
	nn

jak obliczyć taką granicę?

Karolina: pomoże ktoś? wyjaśni mi to ktoś?

Gray:

	an+1
Oblicz granicę		. Jeżeli wyjdzie mniejsza niż 1 (a wyjdzie ) to ciąg zbiega do
	an

0.

Karolina: lim_n→∞= ⁿ√n! lim_n→∞= ⁿ√n! tym samym sposobem co podałeś? skąd ten sposób, tzw czy jest jakieś takie twierdzenie? bo kiedy rozwiązuje muszę napisać z czego korzystałam

Karolina: w tym drugim powinno być n² a pod pierwiastkiem n!

Gray: Tak, jest takie twierdzenie. Gdzie to n² w drugim?

Karolina:

	3nn!
limn→∞		=?
	nn

w tym przykładzie doszłam do takie czegoś(z tym twierdzeniem co podałeś że a_n+1/a_n):

	nn
limn→∞(1+		) i co dalej?
	3n n!

ICSP: Polecam wzór Stirlinga

Gray: Jak Ty to zrobiłaś, nie mam pojęcia

an+1		3n+1(n+1)!		nn		3nn
	=				=		=
an		(n+1)n+1		3nn!		(n+1)n

	n+1		3
=3 (		)−n = 3 (1+1/n)−n →		.
	n		e

Teraz widzę, że intuicja mnie zawiodła, bo granica wyszła większa niż 1.... Ale jest takie tw., że jeżeli ta granica jest większa niż 1 to ciąg jest rozbieżny do +∞.

Gray: Już wiem jak to zrobiłaś... a_n+1 ≠ a_n +1

Karolina: aaaa rzeczywiście mój błąd dziękuję bardzo za pomoc teraz juz rozumiem to tam gdzie mam silnie mogę korzystać z Twojego twierdzenia?

Gray: Niestety, to nie jest moje twierdzenie Ale możesz... próbować.

Karolina: znaczy z tego, z którego korzystałeś

Gray: Z tą granicą chyba nie będzie tak łatwo. Jakie masz dokładnie zadanie, bo coś o n² pisałaś? Ktoś może Ci pomoże; ja muszę się zająć czymś innym...

Karolina: lim_n→∞ⁿ√n! tam gdzie jest samo `n` (to `n` bez silni) powinno być n² jeszcze raz dziękuję za pomoc

Gray: Odpowiedzią jest 1. Próbuj; trzymam kciuki

Karolina: to też z twierdzenia, które podałeś, bo jakoś mi to nie wychodzi z tego twierdzenia

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/107225.html

ICSP: Chociaż nadal jestem za moją pierwszą propozycją.

Karolina:

	n
(		)n =n!
	e

o to chodzi?

ICSP:

	n
n! ≈ (		)n * √2πn
	e

więc lim ⁿ√n! = ∞

Gray: (n!)^1/n2 = e^ln(n!)1/n2 = e^[ln(n!)]/n2 = ... I teraz:

	lnn!		ln1+ln2+...+lnn		nlnn		lnn
0≤		=		≤		=		= lnn√n → ln1=0.
	n2		n2		n2		n

zatem ..... = e^[ln(n!)]/n2 → e⁰ = 1. Koniec

Karolina: bardzo dziękuje wszystkim za pomoc nie wiem co bym bez was zrobiła (pewnie nic bym nie zrobiła ) a jeszcze jedno pytanie w tej pierwszej linijce dlaczego e^ln(n!)1/n2 ? skąd to? jakaś reguła/twierdzenie/definicja?

Gray: A=e^lnA − przydatna zależność.

Karolina: ok, dziękuję na pewno się przyda