matematykaszkolna.pl
Granice - studia c.d. Hajtowy: Granice − studia c.d. emotka Nowy dzień nastał, nowe wyzwania i nowe zadania emotka
 2 
a) 2 * (
)n + 3 * 5−n + 2 = ...
 3 
Jak to ugryźć?
15 lis 13:49
Hajtowy: Oczywiście limn→∞ emotka
15 lis 13:51
J : g = 2
15 lis 13:52
Kacper: zębami emotka
15 lis 13:53
Hajtowy: Mogę to uznać za: 2 * (2/3)n −> dąży do nieskończoności 3*5−n −> dąży do nieskończoności I zostaje mi samo 2? Mogę to tak zrozumieć? XD
15 lis 13:53
razor:
 2 
(
)n → 0 przy n → ∞
 3 
1 
→ 0 przy n → ∞
5n 
 2 1 
zatem 2*(
)n + 3*
+ 2 → 2*0 + 3*0 + 2 → 2
 3 5n 
15 lis 13:53
Hajtowy: Fakt... do zera dąży emotka
15 lis 13:54
Hajtowy:
 2*2n−1 
limn→∞
= ... ?
 3*2n+4 
 
2*2n 1 
−
2n 2n 
 2 
=
=
?
 
3*2n 
+4
2n 
 3 
15 lis 14:11
Kacper:
 4 
Dopisz w pewnym miejscu lim i w mianowniku
i będzie git emotka
 2n 
15 lis 14:12
J : emotka
15 lis 14:12
Saizou :
 2 
tak
ale chyba mianownik coś nie teges
 3 
15 lis 14:14
Kacper: Saizou jak twoja algebra?
15 lis 14:15
Hajtowy: Zjadło się
15 lis 14:15
Saizou : nie było aż tak źle jak myślałem, tylko jestem na siebie zły bo źle policzyłem rząd g=O144 w G=D5, nie zrobiłem jednego zadania z indukcji z ciągiem Fibonacciego, a reszta jakoś poszła xd
15 lis 14:18
Hajtowy: Przepraszam, ale powiem, że się jebłem gdzieś i nwm gdzie
 4*9n−1 − 2*32n+1 
limn→∞
=
 32n−1+9n 
 
 1 1 
4*9n*
− 2*9n *
 9 3 
 
=limn→∞
=
 
 1 
9n *
+ 9n
 3 
 
 
4 2 
−
9 3 
 
 2 
−
 9 
 1 
= limn→∞
=
=−
 
1 
+1
3 
 
4 
3 
 6 
Gdzie ja mam błąd?
15 lis 14:21
Hajtowy:
 25 
W książce odp brzmi : −
 6 
15 lis 14:22
Kacper: 31=3
15 lis 14:22
Hajtowy: Eh... jak zawsze coś się nie uda Zaraz poprawię i zobaczę czy wychodzi
15 lis 14:23
J : 32n+1 = 3*9n..
15 lis 14:24
Hajtowy: emotka wyszło
15 lis 14:25
Hajtowy:
 22n+2 − 4n−1−1 
limn→∞
=
 5*4n+1 − 22n−2 
 4n*4 −4n * (1/4) − 1 2,75 11 
=limn→∞
=
=
 5*4n*4 − 4n*4 16 64 
 15 
A ma byc
Znów gdzieś się zgubiłememotka
 79 
15 lis 14:32
J :
 1 
.... 2−2 =
...emotka
 4 
15 lis 14:34
Saizou :
 1 
22n−2=4n−1=4n*
 4 
15 lis 14:34
Hajtowy: Za szybko chce zrobić i się mylę No to z tego mi wychodzi:
2,75 11 15 
=
a ma być niby
19,75 76 79 
Więc dalej coś jest nie teges albo odp zła w książce emotka
15 lis 14:36
Hajtowy:
 2*7n + 6*3n 
limn→∞
=
 7n+2 − 2*3n−1 + 10 
 2*7n + 6*3n 
= limn→∞
=
 7n * 49 − 2*3n * 1/3 + 10 
No i co z tym teraz zrobić... podzielić przez 7n ?
15 lis 14:43
Saizou : tak
15 lis 14:44
Kacper: emotka
15 lis 14:44
Hajtowy:
 
 6*3n 
2 +
 7n 
 2 
=
=
 
 2*3n*(1/3) 10 
49 −
+
 7n 7n 
 49 
Git?
15 lis 14:50
Hajtowy: Rozkręcam się
 4*2n−1+3*7n+1+2 
limn→∞
=
 3*2n+2−7n+2−4 
 4*2n * (1/2) + 3*7n*7+2 
=limn→∞
=
 3*2n*4−7n*49−4 
 4*2n*(1/2) 2 3*2n*4 4 
=limn→∞ U{
+ 21 +
}{
−49−
=
 7n 7n 7n 7n 
 21 3 
= −
= −
 49 7 
Sam robiłem Wynik się zgadza, ale czy dobrze wszystko bez zastrzeżeń? emotka
15 lis 14:56
Saizou : wracając do poprzedniego przykładu
 22n+2−4n−1−1 
lim
=
 5*4n+1−22n−2 
4n*4−4n*1/4−1 4−1/4−1/4n 
=
=
20*4n−4n*1/4 20−1/4 
4−1/4 
16−1 
4 
 15 
=
=
20−1/4 
80−1 
4 
 79 
15 lis 14:57
Kacper: Coś 3 linijka nie tak jakieś U?
15 lis 14:57
Hajtowy: Saizou masz rację emotka zgubiłem tam jedną rzecz o której Ty nie zapomniałeś emotka
15 lis 15:02
Hajtowy:
 4*3n+1+2*4n 
limn→∞
=
 5*2n+4n+2 
 4*3n*3 + 2*4n 
= limn→∞
=
 5*2n+4n*16 
 
4*3n*3 
+2
4n 
 2 1 
=limn→∞
=
=
 
5*2n 
+16
4n 
 16 8 
15 lis 15:04
Kacper: ujdzie
15 lis 15:06
jakubs: Hajtowy z jakiego zbiorku masz zadanko z 15:04 ? Rocznik starszy na moim wydziale miał to zadanko na kolosie. emotka
15 lis 15:09
Hajtowy: jakubs Matematyka dla kierunkow ekonomicznych, przyklady i zadania wraz z repetytoriumze szkoly sredniej, Gurgul, Suder, Krakow 2009 emotka
15 lis 15:14
Hajtowy:
 3n+2 − 2*52n−1 +3 
limn→∞
=
 4n+3+5n+4−7 
 3n*9 − 2*25n*(1/5) + 3 
limn→∞
|| dziele przez 5n
 4n*64 + 5n*625 − 7 
 
3n*9 3 
− 2*5n*(1/5) +
5n 5n 
 
limn→∞
=
 
4n*64 7 
+625−
5n 5n 
 
 −∞ 
=
= −∞ ?
 625 
15 lis 15:16
jakubs: Dzięki, odpowiedź do 15:16 poprawna emotka
15 lis 15:23
Hajtowy: Ten zbiorek używa Pani dr z matmy na ekonomii i daje z niego zadanka także wolę przerobić żeby chociaż wiedzieć czego się spodziewać emotka
15 lis 15:25
jakubs: To masz spoko, bo pani dr, która mnie uczy to korzysta tylko z jakiś swoich kartek
15 lis 15:27
Hajtowy: Korzystając z odpowiednich wzorów na sumy skończone, obliczyć granice ciągów o wyrazach:
1+3+5+...+(2n−1) n 
−
n+2 2 
 a1+an 
Mam tutaj wziąć sobie wzór z ciągu arytmetycznego: Sn=
*n ?
 2 
15 lis 15:30
Saizou : tak emotka
15 lis 15:47
Hajtowy:
2n 
*n
2 
 n n2 n 2n2−n(n+2) n2−2 
−
=
−
=
=
n+2 2 n+2 2 2(n+2) 2n+4 
Dobrze myślę czy źle?
15 lis 16:01
Janek191: b1 = 1 r = 2 bn = 2 n − 1 więc S = 0,5*( 1 + 2n − 1)*n = n2 Ma być na końcu
  n2 − 2n 
... =
 2 n + 4 
15 lis 16:06
Hajtowy: No tak emotka zgubiłem tam "n" emotka Teraz to podzielić przez n?
15 lis 16:08
Janek191: Licznik i mianownik podzielić przez n emotka
15 lis 16:11
Hajtowy:
 2n−2 
... =
=... dalej tu nie widzę rozwiązania
 
2(n+2) 
n 
 
15 lis 16:15
Hajtowy: hm?
15 lis 16:42
Saizou :
 1+3+5+...(2n−1) n 
lim
−
=
 n+2 2 
 
1+(2n−1) 
n
2 
 n 
=
−
=
 n+2 2 
2n 
n
2 
 n 
−
=
n+2 2 
n2 n 
−
=
n+2 2 
2n2 n(n+2) 
−
=
2(n+2) 2(n+2) 
2n2−n2−2n 
=
2(n+2) 
n2−2n 
=∞
2n+4 
15 lis 16:50
Hajtowy: emotka emotka
15 lis 16:54
Hajtowy:
 
 1 1 1 
1+
+
+...+
 2 4 2n 
 
c) limn→∞
 2n+1−3 
Wzór na sumę ciągu geometrycznego czy arytmetycznego się tu przyda?
 1−q2 a1+an 
Sn=a1 *
czy Sn=
*n
 1−q 2 
15 lis 17:11
Saizou : jak myślisz ? co jest w liczniku
 1 1 1 
1+
+
+....+
 2 4 2n 
15 lis 17:21
Hajtowy:
 1 
ciąg arytmetyczny wg mnie emotka bez ułamków r=
 2 
15 lis 17:23
Saizou : to sprawdźmy a1=1
 1 3 1 
a2=1+
=
a drugi wyraz ma być
 2 2 2 
15 lis 17:27
Hajtowy: czyli tak jak myślałem, geometryczny
15 lis 17:28
Saizou : nie wiem co myślałeś, ale prawda jest taka ze to suma ciągu geometrycznego
15 lis 17:29
Hajtowy: q się liczyło "2 wyraz przez 1, albo 3 przez 2 itd?" ? emotka
15 lis 17:31
Saizou :
 an+1 
ogólnie q=
 an 
15 lis 17:32
Hajtowy: omg...trochę dawno to było ...
15 lis 17:35
Saizou : a trzeba to umieć xd
15 lis 17:36
Hajtowy: Jakieś info dla przypomnienia jak się to liczyło?
15 lis 17:39
Saizou : odsyłacze po lewej stronie emotka
15 lis 17:45
Hajtowy:
 1 
q=
?
 2 
https://matematykaszkolna.pl/strona/297.html Przykłady: (1 przyklad)
15 lis 17:47
Saizou : ale Twoja suma jest skończona emotka
15 lis 17:50
Hajtowy: Dobra dajmy sobie z tym spokój Ważniejsze są z liczbą Eulera
 2 2 
limn→∞ (1+
)3n = limn→∞ [ (1+
)n ] 3n/n =
 n n 
=limn→∞ e3n/n = e limn→∞ 3n/n = elimn→∞ 3 = e3 ?
15 lis 18:00
Saizou :
 1−qn 1 
S=a1
a1=1 q=
 1−q 2 
15 lis 18:02
Saizou : trochę niezbyt bo granicą tego jest e6 Skorzystaj z tego że limn→∞(1+an)(1/an)=e jeśli an≠0 i limn→∞an=0
15 lis 18:08
Eta:
 a 
(1+
)n to g=ea
 n 
15 lis 18:15
Hajtowy: W taki sposób robiliśmy na ćwiczeniach z matmy z panią dr ... Wymaga tego, by uczyć się jej sposobem a nie cudowaniem bo jej sie cudowanie nie podoba
 1 
limn→∞(1+
)n=e
 n 
Taki wzorek mam napisany, ale tutaj on jakoś nie pasuje zw emotka emotka Jak wrócę to pomęczymy się z tym Eulerem
15 lis 18:15
Hajtowy: No ale nie wychodzi coś to zadanko
15 lis 18:17
Saizou : zauważ że ten wzór
 1 2 
limn→∞(1+
)n=e zadziała w przykładzie (1+
)3n, bo
 n n 
 2 1 
lim (1+
)3n= [(1+
)n/2]6=e6
 n n/2 
15 lis 18:25
Hajtowy: No to jedziemy dalej emotka⇒
 1 1 
limn→∞ (1−
)n = limn→∞ [(1−
)3n]n/3n =
 3n 3n 
=limn→∞ en/3n = e1/3 Git? emotka
15 lis 19:42
Saizou : jest emotka
15 lis 19:46
Hajtowy:
 2 
limn→∞ (1−
)3n+1 =
 n+1 
Jakiś pomysł? Bo mi to paskudnie wychodzi a ma wyjść e6
15 lis 19:54
Saizou : zobacz co napisałem o 18:25
15 lis 19:55
Hajtowy: No próbowałem tym sposobem ale mówię, że mi to paskudnie wyszło
 3n+1 
limn→∞ e
 (n+1)/2 
 3n+1 
to potęga
 (n+1)/2 
15 lis 19:56
Saizou :
 2 
(1−
)3n+1=
 n+1 
 1 
[(1+
)−n+1/2]6n+2/−n−1
 
 n+1 
−
 2 
 
15 lis 20:02
Hajtowy: e−6? emotka
15 lis 20:07
Saizou : tak xd
15 lis 20:07
Hajtowy:
 1 1 
(1+
)2n = [(1+
)n2]2n/n2 = e2n/n2 = e2/n = e0 = 1 ?
 n2 n2 
15 lis 20:10
Saizou : emotka
15 lis 20:12
Hajtowy: Can you imagine when this race is won? Jeszcze 6 przykładów emotka Jesteś gotów Saizou?
15 lis 20:12
Saizou : Już się boję, ale do odważnych świat należy xd
15 lis 20:13
Hajtowy:
 n+4 
limn→∞ (
)n = ...
 n 
Te 6 przykładów całkiem ciekawe
15 lis 20:14
Saizou : musisz mieć postać 1+coś tam xd
15 lis 20:14
Hajtowy: Sugerujesz mi żebym coś z tym zrobił, czy zadanie jest złe? xd
15 lis 20:16
Hajtowy:
 4 
(1+
)n ?
 n 
15 lis 20:17
Saizou : no tak i co dalej
15 lis 20:18
Hajtowy:
 1 
dzielimy na 4 żeby było
 n 
15 lis 20:20
Saizou : zobacz przykład 18:25
15 lis 20:20
Hajtowy:
 1 
hmm... [(1+
)n/4]4 = e4 ?
 n/4 
Nwm teraz którą potęgę tam dać Skoro dzieliłem na 4 to muszę pomnozyć razy 4 ? Czyli będzie tam 4?
15 lis 20:22
Saizou : tak
15 lis 20:23
Hajtowy: next emotka
 4n−2 2 1 
(
)n+2 = (1−
)n+2 = [(1+
)−4n/2]2n+4 / coś
 4n 4n −4n/2 
A to coś to co ma być, bo nwmemotka
15 lis 20:28
Saizou : nasz wyjściowy wykładnik to n+2 ale zmieniamy coś w nim i mamy
4n 
*t=n+2 t= to coś
2 
15 lis 20:31
Hajtowy:
2n+4 
?
4n 
15 lis 20:33
Hajtowy: no ale z tego wychodzi mi e1/2 a w odp jest e−1/2
15 lis 20:34
Hajtowy: a widzisz
 4n 
Trzeba wziąć −
* t = n+2 Wtedy wyjdzie, że t=−4n emotka No i wtedy wyjdzie e−1/2
 2 
emotka
15 lis 20:35
Saizou : http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28%284n-2%29%2F%284n%29%29%5E%28n%2B2%29
15 lis 20:36
Hajtowy: czyli e−1/2 emotka
15 lis 20:40
Saizou : tak emotka
15 lis 20:42
Saizou : fakt, ja tam minusa nie wpisałem
15 lis 20:42
Hajtowy:
 n2+2n 2n 1 
(
)n+4 = (1+
)n+4 = [(1+
)n2/2n]n+4 / (2n+8)/n =
 n2 n2 n2/2n 
en+4 / (2n+8)/n = e1/2 a ma wyjść e2
15 lis 20:43
Hajtowy: Hajtowy 1, Saizou 0
15 lis 20:43
Hajtowy: Nie jestem pewny czy tam ma być właśnie to 2n+8 Zrobilem tak jak pokazałeś no i mi wyszło, że 2n+8 ale chyba źle policzyłem coś bo mi wyjśc nie chce
15 lis 20:44
Saizou : policz jeszcze raz ale skróć sobie n i n2
15 lis 20:46
Hajtowy:
n 
* t = n+4
2 
 n+4 n+4 2 2n+8 
t =
=
*
=
 
n 
2 
 1 n n 
15 lis 20:49
Saizou : tak e2n+8/n=e2
15 lis 20:51
Hajtowy: en+4 / (2n+8)/n ja mam taką postać
15 lis 20:52
Saizou :
 n2+2n 2 1 
(
)n+4=(1+
)n+4=((1+
)n/22n+8/n=e2
 n2 n n/2 
15 lis 20:54
Saizou : tam ba być
 1 
[(1+
)n/2]2n+8/n
 n/2 
15 lis 20:55
Hajtowy: wyszło emotka
15 lis 20:56
Hajtowy: A jak się tu zachować?
 2n2−1 
(
)n2+4
 2n2+1 
15 lis 20:57
Saizou : tak samo
2n2+1−2 2 
=(1−
)
2n2+1 22+1 
a teraz lecę się wykąpać xd
15 lis 20:59
Hajtowy: Spoko I tak to już ostatni przykład na dziś i chyba wgl emotka także dzięki Ci wielkie! emotka emotka
15 lis 21:00
Saizou : i co udało Ci się go rozwiązać ?
15 lis 21:19
Saizou : Kwiaty chłopakowi dawać
15 lis 21:20
Hajtowy: A dałem se spokój już dziś Odpoczywam
15 lis 21:22
Saizou : jak kto woli, ale to są przyjemne zadanka xd
15 lis 21:23
Hajtowy: Przyjemne to jest spanko emotka xd
15 lis 21:24
Saizou : hehe nie doświadczam tego zbytnio xd
15 lis 21:26