a algebra: Niech: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 δ = ( 4 7 6 5 1 9 2 3 8). Wyznaczyć permutację β zbioru {1,2,....,8,9} taką, że: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 δ⁻²⁶βδ = ( 9 1 4 2 6 5 3 8 7) Pomoże ktoś ?

Gray: Ja mogę Ci pomóc, ale dopiero po godz. 21.

Gray: Trochę teraz: z definicji składania permutacji mamy δ⁻²⁶ β δ = (9 1 4 2 6 5 3 8 7) ⇔ β = δ²⁶ (9 1 4 2 6 5 3 8 7) δ⁻¹ Pozostało do wyznaczenia δ²⁶ oraz δ⁻¹. Najpierw łatwiejsze: skoro permutacja δ jest postaci:

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 7 6 5 1 9 2 3 8
δ=

to

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 8 1 4 3 2 9 6
δ−1=		.

Pozostało jeszcze wyznaczyć δ²⁶. W tym celu rozłożymy permutację δ na cykle: (4 7 6 5 1 9 2 3 8) = (1,4,5)(2,7)(3,6,9,8). Rząd permutacji to NWW długości cykli, które ją tworzą, zatem rząd permutacji δ to 12. Oznacza to, że δ²⁶=δ²⁴ δ² = δ² Ostatecznie: β=δ²(9 1 4 2 6 5 3 8 7) δ⁻¹=.....

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 7 6 5 1 9 2 3 8		1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 7 6 5 1 9 2 3 8
δ2 =				=

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 2 9 1 4 8 7 6 3
=

(9 1 4 2 6 5 3 8 7) δ⁻¹ =

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 1 4 2 6 5 3 8 7	1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 8 1 4 3 2 9 6
=			=...

resztę później Albo spróbuj samodzielnie.

Gray: Kontynnując:

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 9 2 4 1 7 5
... =		/ to jest (9 1 4 2 6 5 3 8 7) δ−1

Stąd ostatecznie: β = δ² (9 1 4 2 6 5 3 8 7) δ⁻¹ =

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 2 9 1 4 8 7 6 3	1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 9 2 4 1 7 5
=			=

	1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 9 6 3 2 1 5 7 4
=		− to jest rozwiązanie.

algebra: czemu rząd permutacji to 12 ? Jak w cyklu jest 9 liczb

algebra: nww − najmniejsza wspólna wielokrotność, ale nie wiem skąd ta 12.

Gray: Cykle to (1,4,5)(2,7)(3,6,9,8) − ich długości to 3, 2, 4 − NWW tych liczb to 12.

algebra: aha już patrzę dalej, jeśli możesz zajrzeć do tego tematu: https://matematykaszkolna.pl/forum/263359.html bo nie wiem kiedy można takie coś stosować,że potęgę permutacji dzielę przez ilość liczb na górze w permutacji i z reszty robię przejścia liczb.

Gray: Przez pomyłkę odpowiedziałem Ci tu. https://matematykaszkolna.pl/forum/263359.html

Gray: Hurwitz dobrze to ujął.

algebra: możesz jeszcze raz zajrzeć do tego tematu co odpowiedziałeś bo coś napisałem ?

algebra: a czemu tutaj jest tak,że: β = δ²⁶(..................)δ⁻1 a nie β = δ²⁶*δ⁻¹*δ²⁶ ?

algebra: miało być a nie β = δ²⁶*δ⁻¹*(........)

Gray: Miałeś równanie: δ⁻²⁶ β δ = (9 1 4 2 6 5 3 8 7) z którego chcesz obliczyć β. Możesz stronami "mnożyć" przez δ w odpowiedniej potędze, ale − UWAGA − "mnożenie" tych permutacji nie jest przemienne. Dlatego musisz to robić z odpowiedniej strony. Patrząc na równanie wyjściowe, musisz je pomnożyć przez δ²⁶ ze strony lewej oraz przez δ⁻¹ z prawej.

algebra: zawsze tak zapisywać ? bo nie bardzo się orientuje z tym mnożeniem nadal.

Gray: Tak. To "mnożenie" to w rzeczywistości składanie odwzorowań. Permutacja to odwzorowanie.

	1 2 3 3 1 2
Taka		1 przekształca w 3, 2 w 1, 3 w 2.

Składanie odwzorowań nie jest przemienne: f(x)=x² g(x)= 2x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 4x² (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = 2x².

algebra: ok dzięki

Gray: Nie ma sprawy.