kolokwium już blisko Radek: Wyraź sin 3α za pomocą sin α. Udowodnij, że sin 20^o jest liczbą niewymierną

Kacper: Z sinusem już było. To drugie może być przy użyciu liczb zespolonych?

Radek: Gdzie było ?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/261503.html

Radek: sin3α=3sinα−4sin³α sin3α=3sinα(1−4sin²α) sin3α=3sinα(1−2sinα)(1+2sinα) Ale chyba ni o to chodzi ?

Radek: ?

Radek:

Mila: 1) Wyraź sin (3α ) za pomocą sin α. sin(3α)= =sin(α+2α)=sinα*cos(2α)+cosα*sin(2α)= =sinα*(cos²α−sin²α)+cosα*2sinα*cosα= wyłączam sinα =sinα*(cos²α−sin²α+2cos²α)= =sinα*(3cos²α−sin²α)=sinα*(3−4sin²α)⇔ sin(3α)=3sin²(α)−4sin³(α) =====================

Radek: A jaki wykazać sin20^o jest liczbą niewymierną ?

Mila: Jest tam w linku. Przeczytaj dokładnie i napisz czego nie rozumiesz.

Radek: Ale jaki ten wielomian ma być ?

Mila: Ja podałam inną metodę, wykorzystałam tę tożsamość na sin (3α), przeczytaj, co tam napisałam.

Radek: W tym linku nic nie ma ?

kyrtap: Mila załóżmy że tobie wyszło √3/2 a to gołym okiem widać że jest to liczba niewymierna

Mila: Korzystamy z wzoru: sin(3α)=sinα*(3−4sin²α)

	√3
Wiemy, że sin(60o)=
	2

========================= 60^o=3*20^o sin(3*20^o)=sin(20^o)*(3−4*sin²(20))⇔

	√3
sin(20o)*(3−4*sin2(20))=
	2

Gdyby sin(20^o) było liczbą wymierną to (3−4*sin²(20)) też jest liczbą wymierną , zatem lewa strona byłaby liczbą wymierną a prawa strona jest liczbą niewymierną , mamy sprzeczność.⇔ wartość sin(20^o) jest liczbą niewymierną.

Radek: Dziękuję.

Mila: Dobranoc.

kyrtap: Pchły na noc