Ni to matura ni studia Lukas: Wyznacz ilorazy oraz reszty z dzielenia wielomianów P przez wielomian Q P(x)=2x⁴−5x³+2x Q(x)=x²−1 Nie rozumiem czemu mam dzielić P(x)/Q(x) zamiast zrobić to hornerem ?

ICSP: Horner działa tylko gdy dzielisz przez dwumian x − a, Q(x) nie jest takim dwumianem

Lukas: Dziękuję, tego nie doczytałem. W zespolonych tak samo ?

52: chyba że ... Q(x)=(x−1)(x+1) ...

Lukas: Ale postać iloczynowa Q(x) posłuży tylko do zbudownia układu równań i wyznaczenie reszty

Mila: To dziel tradycyjnie, masz z tym problem?

Lukas: Nie mam z tym problemu, nie miałem w szkole sredniej tego. Chodzi o wyznacznie reszty P(x)=x(2x³−5x²+2) i jeszcze muszę go rozłożyć ?

ICSP: Masz wyznaczyć resztę z dzielenia P(x) przez Q(x) i chcesz uniknąć dzielenia?

b.: metoda dzielenia wielomianów jest opisana tutaj: 107 gdyby pytanie było tylko o resztę, to jest też inna metoda, ale jak trzeba znaleźć resztę i iloraz, to dzielenia się nie uniknie (schemat Hornera to też dzielenie )

ICSP: ooo witaj b, zajrzysz tu : https://matematykaszkolna.pl/forum/262408.html ?

Mila: (2x⁴−5x³+2x):(x²−1)=2x²−5x+2 −(2x⁴−2x²) ========= −5x³+2x²+2x −(−5x³+5x) =================== 2x²−3x − ( 2x²−2) ====================== reszta −3x+2 (2x⁴−5x³+2x)=(x²−1)*(2x²−5x+2)+(−3x+2)

Lukas: Potrafię podzielić, bardziej chodzi mi o drugą cz zadania

Mila: Jaką druga część, napisz konkretnie.

Lukas: Nie rozumiem tego dzielenia − dokładnie tego −5x³+2x²+2x to tak ale potem już nie

Mila: od −5x³+2x²+2x odejmujemy (−5x³+5x)= −5x³+2x²+2x+5x³−5x=2x²−3x teraz (2x²):x²=2 itd

Mila: Do jutra. Dobranoc.

Lukas: Do jutra ? Do dziś, proszę spojrzeć na godzinę. Dziękuję za pomoc.

Lukas: Ale tam nie ma nic przy x² i nadal nie umiem tego przykładu...

Mila: jeżeli pomnożysz (x²−1) przez 2x² to otrzymasz 2x⁴−2x². −2x² pojawiło się jako wynik mnożenia 2x² przez −1.

Lukas: tak wiem ale potem mam −5x³+2x²+2x i znowu muszę podzielić przez x²−1 i tutaj nie rozumiem

Mila: To się dzieli tak samo jak liczby: masz pod kreską :

	−5x3
−5x3+2x2+2x to badasz iloraz		=−5x i teraz mnożysz
	x2

−5x*(x²−1)=−5x³+5x to podpisujesz pod −5x³+2x²+2x czyli masz zapis : ================= −5x³+2x²+2x −(−5x³+5x) odejmujesz itd. =========

Lukas: coś tu nie tak bo 2x² powinno zostać ?

Mila: Ale dopisujemy z góry następny składnik (2x)

Lukas: spróbuje jeszcze raz policzyć

Lukas: wychodzi mi bez sensu 2x²−5x+2 =================== 2x⁴−5x³+2x :x²−1 −2x⁴+2x² ========== −5x³+2x²+2x +5x³+0−6x ========= 2x²−6x −2x²−2 ========= −6x−2

Mila: źle robisz, (−5x²):x²=−5x teraz mnozysz (x²−1)*(−5x)=−5x³+5x

Lukas: Kolejny raz znowu źle 2x²−5x+2 2x⁴−5x³+2x :x²−1 −2x⁴+2x² ========= −5x³+2x²+2x −5x³+0+−6x ========== 2x²−4x −2x²−2 ======== −4x−2

Lukas: Dziękuję, już znalazłem błąd.

Mila: To dobrze.

Lukas: trochę tych zadań jest z wielomianów.

Lukas: x¹⁵−1: x⁵+1=−2 ?

Lukas: ?

Mila: Powinieneś to zapisać w nawiasach. (x¹⁵−1):(x⁵+1) co to jest z tą (−2)?

Lukas: Tak wyszła mi reszta po podzieleniu

Mila: Dobrze . (x¹⁵−1):(x⁵+1)= x¹⁰−x⁵+1 −(x¹⁵+x¹⁰) ============ −x¹⁰−1 −(x ¹⁰−x⁵) ============= x⁵−1 −(x⁵+1) ============= reszta −2

Lukas: Mogę jeszcze zająć chwilkę ?

Mila: Możesz.

Lukas: jeśli mam równanie z⁴+5z²+4=0 z²=t t²+5t+4=0 Δ=9 √Δ=3 t₁=−1 t₂=−4 z=2i lub z=−2i ?

Mila: Masz mieć 4 rozwiązania. z²=−1 lub z²=−4 z²+1=0 lub z²+4=0 z²−i²=0 lub z²−4i²=0

Lukas: Hmmm Koniecznie trzeba tak, nie mogę tego skończyć tak jak ja zacząłem ?

Lukas: ?

Mila: Możesz swoim sposobem, ale mają być 4 rozwiązania. Ja widzę je przy moim rozpisaniu.

Lukas: z²=−4 x²−y²=−4 2xy=0 x=0 lub y=0 dla x=0 y²=4 y=2 lub y=−2 z₁=2i lub z=−2i dla y=0 x²=−2 sprzczne więc skąd 4 rozwiązania ?

Mila: z²=−4 ma dwa rozwiązania z²=−1 ma dwa roaziązania o to mi chodzi.

Lukas: U mnie wychodzi coś innego (oczywiście po rozpisaniu ) post 22:49

Mila: Też dobrze wychodzi. Licz spokojnie.

Lukas: Już przedstawiłem swoje obliczenia ? Proszę wskazać błędy.

Mila: Rozwiązałeś dobrze równanie z²=−4 teraz rozwiąż z²=−1

ZKS: Gdzie równanie z² = −1? Zrobiłeś tylko z² = −4.

Lukas: z²=−1 x²−y²+2xyi=−1 x²−y²=−1 2xy=0 x=0 y=1 lub y=−1 dla y=0 x²=−1 sprzeczność z=i lub z=−i A jak to szybciej policzyć ? Tak jak Pani zaczęła 21:48 ?

ZKS: −1 = (−1) * 1 = i² * 1 = i² Teraz wzory skróconego mnożenia.

Lukas: Nie bardzo rozumiem co tutaj mają wzr. skr mnożenia do rzeczy ?

ZKS: z² + 1 = 0 z² − 1 * (−1) = 0 z² − 1 * i² = 0 z² − i² = 0 Wzory skróconego mnożenia a² − b² = (a − b)(a + b) (z − i)(z + i) = 0

Lukas: Dziękuję

ZKS: Na zdrowie.

Lukas: A jeszcze jedno pytanie na szybko mając deltę 2i √Δ=√2i i znowu muszę rozpisac 2i=z² ?

Mila: Możesz, ale warto coś popróbować (1+i)²=1+2i−1=2i czyli jesli Δ=2i to zapiszemy: √Δ=√2i=√(1+i)²=1+i Jak rozpiszesz (x+iy)²=2i też taki będzie wynik. ( 2 rozwiązania będą, )

ZKS: Mając Δ = 2i możesz to zrobić wiedząc, że 2i = 1 + 2 * 1 * i + i² = [±(1 + i)]², albo rozpisując x² − y² = 0

	1
2xy = 2 ⇒ xy = 1 ⇒ y =
	x

Podstawiasz do równania x² − y² = 0 i dostajesz

	1
x2 −		= 0
	x2

x⁴ − 1 = 0 (x² − 1)(x² + 1) = 0 drugi czynnik daje sprzeczność ponieważ x oraz y należą do liczb rzeczywistych Dalej sobie poradzisz.

bezendu: x²−y²=0 2xy=2 x²+y²=√2² dodać 1 do 3