Kres dolny, dowód farquad: Hej, siedzę nad tym i siedzę, ale nie mogę wymyślić jak udowodnić, że kresem dolnym a²−ab gdzie a,b∊(0,1) jest −¹₄ nie wiem jak to można rozpisać przez sprzeczność mi nie wychodzi, chociaż wiem, że trzeba wziąć ε>0 i wtedy dla każdego takiego ε ma być −¹₄+ε < a²−ab ale jak dobrać a i b (np w zależności od n naturalnego) żeby ta −¹₄ skróciła mi się po obu stronach i został sam ułamek z n po jednej stronie i epsilon po drugiej? bardzo proszę o pomoc

ICSP:

	1		1
a2 − ab = (a −		b)2 −		b2
	2		4

farquad: oczywiście się zgadzam, ale czy nie trzeba tego jakoś dowieść z tym nieszczęsnym epsilonem, żeby było wiadomo że jest to największe z ograniczeń dolnych? bo jakby wiem intuicyjnie, że najmniejsza wartość będzie, jak b będzie 1, ale czy nie jest problemem to, że 1 nie należy do dziedziny b? i dziękuję bardzo za tak błyskawiczną odpowiedź

ICSP: Oczywiście możesz próbować to jakoś bardziej uzasadniać, ale chyba nie ma sensu. Zależy od tego gdzie studiujesz, od prowadzącego ćwiczenia i od własnego zaangażowania. Kres nie musi należeć do zbioru.

b.: x jest kresem dolnym jakiegoś zbioru E, gdy 1) jest jego ograniczeniem dolnym, czyli x <= y dla każdego y ∊ E, 2) jest największym ograniczeniem dolnym, tj. dla każdego ε>0 istnieje y∊E taki, że y < x+ε ad 1) a² − ab >= a² − a = (a−1/2)² − 1/4 ≥ −1/4 ad 2) niech ε>0, cel: znaleźć a,b takie, żeby a²−ab < −1/4+ε jak widzimy z 1), dobrze wziąć b bliskie 1 oraz a=1/2. No to zacznijmy od a=1/2, dla a=1/2: a² − ab = 1/4 − b/2 chcemy, żeby 1/4 − b/2 < −1/4+ε czyli 1/2 − ε < b/2, tzn. b > 1−2ε Teraz możemy udawać jasnowidzów: skreślić powyższy akapit i napisać, że bierzemy a=1/2 oraz b=1−ε, dla takich a,b zachodzi a² − ab = 1/4 − (1−ε)/2 = −1/4 + ε/2 < −1/4+ε, co chcieliśmy udowodnić.

b.: ale, tak jak napisał ICSP, równość z 22:44 plus ew. mały komentarz słowny powinny wystarczyć

ICSP:

farquad: jesteście wspaniali, pięknie dziękuję!