Newton Saizou : Kolejny raz prosze o pomoc, jak udowodnić:

	n k
∑nk=0		=2n , n∊N

spr n=1

	1 0		1 1
L=		+		=2 P=21=2 L=P

Założenie dla pewnego n∊N

	n k
∑nk=0		=2n

Teza dla n+1

	n+1 k
∑n+1k=0		=2n+1

Dowód:

	n+1 k		n k		n+1 k
∑n+1k=0		=∑nk=0		+		, czy to jest ok , chodzi tylko o rozpisanie

Hurwitz:

	n k
(a+b)n=∑kn		an−kbk

i dajesz a=b=1. Zależy co wiesz...

Saizou : nie rozumiem

Mila: Masz udowodnić, ile jest wszystkich podzbiorów zbioru n−elementowego?

Maslanek:

	n k
Jeżeli chodzi o samą równość, to zauważ, że (1+1)n=∑(k=0, n)		. Koniec dowodu

Saizou : mam po prostu zadani udowodnij, że...

Saizou : już łapię.... dzięki, coś mnie olśniło

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/72093.html

zombi: Mogę się podłączyć Saizou? Bo też mam zadanie z Newtona.

	1
Wykaż, że an = (1+		)n jest rosnący, wskazówka:
	n

użyj wzór dwumianowy i pokaż, że każdy wyraz jest rosnący.

	n k		1
tj. mam pokazać, że		(		)k jest rosnący dla każdego 0≤k≤n ?
			n

Hurwitz: Zasadniczo tak, ale to nie jest banalne zadanie...

zombi: Wiem, ja bym to pokazywał ze średnich, ale na wykładzie nie było, więc nie moge z tego korzystać.

Hurwitz: Nie wiem, czy ostatecznie sobie poradziłeś. Jeżeli nie to można tak:

n k	1		n!	1		1		n(n−1)...(n−k+1)
		=			=				=
	nk		(n−k)!k!	nk		k!		nk

	1
=		(1)(1−1/n)(1−2/n)...(1−(k−1)/n)
	k!

Stąd wynika, że zwiększając n całość też zwiększasz (bo odejmujesz mniej, czyli mnożysz liczby większe). Powracając do sumy:

	1
(1+1/n)n=∑kn		(1)(1−1/n)(1−2/n)...(1−(k−1)/n)
	k!

zauważasz, że n występuje również w górnej granicy sumowania. Oznacza to, że zamieniając n na n+1 sumujesz więcej większych liczb, czyli (1+1/n)ⁿ<(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ ⇒ ciąg rosnący.