monotoniczność john2: Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x³ Załóżmy, że jest to jakaś skomplikowana funkcja i nie znamy jej wykresu. 1) Dziedzina: x ∊ R 2) f'(x) = 3x² 3) Badam znak pochodnej: najpierw, kiedy f'(x) > 0 3x² > 0 /:3 x² > 0 x∊R\{0}, czyli x ∊(−∞,0)∪(0,∞) 4) Teraz, kiedy f'(x) < 0 3x² < 0 /:3 x² < 0 Brak rozwiązań 5) Wnioski: Na podstawie tego, co tu jest napisane https://matematykaszkolna.pl/strona/381.html wnioskuję, że funkcja f(x) jest rosnąca w przedziałach x ∊(−∞,0)∪(0,∞). Jednak funkcja f(x) = x³, jak wiemy, jest rosnąca w całej swej dziedzinie, czyli x ∊(−∞,∞) Pytanie: Skoro zawodzi ten sposób badania znaku pochodnej, to jak to w końcu robić? Jest jakiś uniwersalny sposób?

Tadeusz: ... uczepiłeś się z uporem godnym lepszej sprawy − Co ci zawodzi? Pewnie wyobraźnia − Dziedzina x∊R .... funkcja ciągła Punkt w którym f'(x)=0 ... to ekstremum lub punkt przegięcia (badasz czy pochodna zmienia czy też nie zmienia znaku przy przejściu przez ten punkt. Zapytam tak ... czy w punkcie ekstremum... funkcja jest rosnąca czy malejąca?

john2: Chodzi o to, że gdybym robił podobne zadanie w ten sposób, który zaprezentowałem, i miałbym do czynienia z podobną, lecz nieznaną mi funkcją, podałbym złą odpowiedź, bo nie zawarłbym wszystkich punktów. Chcę po prostu wiedzieć, jak to robić poprawnie. W punkcie ekstremum chyba funkcja jest stała, bo pochodna tam jest równa 0.

Tadeusz: ... nijak nie wyczerpuje to definicji funkcji stałej

Kacper: Definicja nie mówi o jednym punkcie

john2: Więc w końcu nie wiem. W tym przykładzie https://matematykaszkolna.pl/strona/1483.html funkcja w minimum i rośnie i maleje.

Kacper: Maleje w przedziale i rośnie w przedziale.

john2: Czyli do mojej odpowiedzi w punkcie 5) powinienem dodać punkt x = 0 do mojego przedziału x∊ (−∞,0)∪(0,∞) na mocy tego, że w x=0 mamy punkt przegięcia, a w takim funkcja nie zmienia się (czyli jak rosła wcześniej, to rośnie dalej) ?

daras: funkcja rośnie w całej swojej dziedzinie czyli (−∞; +∞)

john2: Ok. Dzięki Wam.