Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu janesmith1997: Wielomian w(x) przy dzieleniu przez (x−5) daje resztę 1, a przy dzieleniu przez (x+3) daje resztę (−7). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian q(x)=x² − 2x − 15

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/3038.html

PW: Zaproponuję nieco krótszy sposób, mniej kłopotliwy rachunkowo. Podzielność przez (x−5) z resztą 1 oznacza istnienie wielomianu p, takiego że (1) w(x) = p(x)(x−5) + 1, a podzielność przez (x+3) z resztą (−7) oznacza istnienie wielomianu r, dla którego (2) w(x) = r(x)(x+3) − 7. Wynika stąd, że dla wszystkich x∊R p(x)(x−5) + 1 = r(x)(x+3) −7, w szczególności dla x = −3 p(−3)(−8) + 1 = −7, skąd (3) p(−3) = 1. Równość (3) na mocy kryterium podzielności wielomianu przez dwumian oznacza, że p dzieli się przez (x+3) z resztą (1), czyli istnieje wielomian s, dla którego (4) p(x) = s(x)(x+3) +1. Podstawienie (4) do (1) daje w(x) = [s(x)(x+3) + 1](x−5) + 1, w(x) = s(x)(x+3)(x−5) + (x−5) + 1 w(x) = s(x)(x+3)(x−5) + x − 4. Występujący w poleceniu wielomian q(x) = x² − 2x − 15 = (x+3)(x−5), zatem pokazaliśmy, że (5) q(x) = s(x)q(x) + x − 4. Stopień wielomianu (x − 4) jest mniejszy niż stopień wielomianu q, zatem równość (5) oznacza, że reszta z dzielenia w(x) przez q(x) jest równa (x − 4).