rozwiaz rownanie rózniczkowe pracoholik: a) y'= ¹_y + 6x⁴ y(1)=1 b) y'' − 4y'= 6x c) y' = ^√x_√y y(1)=1

daras: https://matematykaszkolna.pl/forum/256700.html

pigor: ..., niech x i y >0 ; widze to tak :

	√x		dy		√x
c) y' =		i y(1)=1 ⇒		=		− r−nie o zm.rozdziel. ⇔
	√y		dx		√y

⇔ √ydy= √xdx i całkując obustronnie ⇒ ∫ y^1₂dy = ∫ x^1₂dx ⇔ ⇔ (¹₂+1}y^1₂+1= (¹₂+1}x^1₂+1 ⇔ y^3₂= x^3₂ /² ⇒ ⇒ y³= x³ ⇔ y=x+C − całka ogólna i y(1)=1 ⇒ 1=1+C ⇒ C=0, więc y= x − szukana funkcja spełniająca dane równanie (całka szczególna). −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− p.s. ciekawe czy nie skróciłem sobie ...; co masz w odpowiedziach

ZKS: Tak wygląda całka ogólna y = (x^3/₂ + C)^2/₃.

pigor: ...no właśnie tak czułem, a więc otrzymanej w 4−tej linijce licząc od góry ( początku) równości .... y ^3₂ = x^3₂ brakuje stałej C (już tu powinna się ona pojawić, a ja chciałem sobie pójść ... na skróty)), czyli powinno być tak : y ^3₂ = x^3₂+C /² ⇒ y ³ = (x^3₂+C)² ⇔ ⇔ y = (x^3₂+C)^2₃ − całka ogólna (rodzina funkcji) danego równania, która dla warunku początkowego y(1)=1 ⇒ 1=(1+C)^2₃ ⇔ ⇔ 1+C=1 ⇔ C=0, czyli y=(x^3₂)^2₃ ⇔ y=x − f. liniowa − szukana całka szczególna . ...