zadankowo Saizou : Średnie −latek zadanko dla ciebie xd

	16
Wykaż że jeśli x>0 to x2+		≥12
	x2

spróbuj ze średnich

Saizou : oczywiście 5−latek klawiatura coś szwankuje

ICSP: Dla x = 2 nie działa.

Saizou : bo jest chochlik, dzięki ICSP miało być

	16
Wykaż że jeśli x>0 to x2+		≥12
	x

5-latek: czesc Saizou tak myslalem ze wymyslisz cos dla mnie i bardzo CI dziekuje . Ja mysle ze skorzystamy tu sredniej arytmetycznej i geometrycznej wiec

x2+16/x		16
	≥√x2*
2		x

x2+16/x		16
	≥x*		czy ide dobrym tropem
2		x

Saizou : pomysł dobry ale coś z średnią geometryczną jest nie tak w 2 linijce xd i nie wymyśliłem, tylko mi się przypomniało że CKE umieściło to zadanko w informatorze do matury 2015

PW: Wskazówka: przy dwóch składnikach po lewej stronie nie uzyskasz po prawej skrócenia iksów, a więc nie będzie oszacowania przez stałą (12).

5-latek: Chociaz Ci powiem ze to x² +16/x ze wzgledu na to x² moze wskazywac na srednia kwadrtowa

Saizou : ale już napisałem że pomysł dobrzy i posłuchaj wskazówki PW

5-latek: bo ja to zle zrobilem bo te 16/x ma byc wciagniete pod pierwiastek a ja policzylem ososbono √x² = |x| ale jako ze x>0 to |x|=x \

	16   x2+   x
TO wtedy bym mial		>=√16x
	2

	16
x2+		>=2√16x dobrze na rzie ?
	x

5-latek: Jesli zle to proszse o wytlumaczenie dokladnie slownie (wtedy lapie )

Saizou :

	16
pomyśl pod pierwiastkiem masz √x2*		=√16x a musimy tak dobrać składniki żeby pod
	x

pierwiastkiem x nie było

5-latek: Zeby pod pierwiastkiem nie bylo x_sa to x musi byc rowny x=1 Ale proszse o wytlumaczenie dlaczego pod pierwiastkiem nie moze byc x_sa (dokladne w miare mozliwosci

Saizou : bo mamy szacować liczbę

	16
x2+		≥12
	x

Godzio: Rozpisz to sprytnie, tak aby x się skróciły po zastosowaniu nierówności ze średnimi

	16
x2 +		= ....
	x

PW: Wskazówka z 22:47 − przy dwóch składnikach nie skrócą się iksy pod pierwiastkiem (za mało iksów, żeby skróciły się z x²).

5-latek: To proszse abys rozpisal to dalej (przynajmniej poczatek )

PW:

	...
Muszą być trzy składniki: jeden z x2 i dwa z
	x

5-latek: Przepraszam na chwile obecna to jest dla mnie za trudne wiec jesli mozecie to prosze o rozpisanie tego dziekuje

Saizou : 5−latek włącz myślenie

Saizou :

	16		8		8
x2+		=x2+		+
	x		x		x

dalej sam

PW: Swoją drogą piękne zadanie; nie sądzę, żeby CKE zaryzykowała takie na maturę 2015.

Saizou : takie było w informatorze i jeszcze 3 inne warianty rozwiązania tego zadania

5-latek: Przepraszam ale nic mi dalej nie wychodzi na prawde MOze i to jest proste

PW: Drugi wariant to ekstremum liczone za pomocą rachunku różniczkowego, a trzeci i czwarty?

5-latek: Saizou rozpisz mi to jak mozesz

Saizou : korzystam z Am≥Gm

8   x2+ +U{8}   x		8		8
	}{3}≥3√x2*		*
x		x		x

16   x2+   x
	≥3√64
3

	16
x2+		≥12
	x

Saizou : a teraz lecę spać, PW odsyłam na stronę CKE i do zakładki matura i informator 2015

Saizou : jeszcze poprawię zapis

8   8   x2+ +   x   x		8		8
	≥3√x2*		*
3		x		x

5-latek: dziekuje ja zamiast mnozyc pod srednia geomrtyczna to dodawalem i dlatego nie chcialo mi sie skrocic

5-latek: Dobranoc Jutro wymysl znowu jaks nierownosc

5-latek: te nierownosci na poczatku wcale nie sa takie proste jakby sie moglo wydawac

PW: Trzeciej wersji też domyślam się: pokazać, że wielomian x³ − 12x + 16 ma jeden ujemny pierwiastek, a więc nierówność x³ − 12x +16 ≥ 0 jest prawdziwa dla x > 0.

5-latek: Witaj PW i dzieki za wskazowki do zadania Przepraszam ze przedtem sie nie przywitalem Na razie chcialbym poznac miare dobrze te srednie

zombi: To masz dla przećwiczenia jeszcze podobne, analogia 100% Wykaż, że dla x>0

	3
x3 +		≥ 4
	x

5-latek: to bedzie tak :

1   1   1   x3+ + +   x   x   x		1		1		1
	>=4√x3*		*		*
4		x		x		x

3   x3+   x
	>=4√1/*4
4

	3
x3+		>=4
	x

Nagorsze to jest wlasnie zauwazenie tego rozbicia

zombi: ja idę spać

5-latek: Dobranoc Ja tez

jakubs:

5-latek: Dobranoc jakubs

Saizou : Wykaż że jeżeli x,y,z są liczbami dodatnimi oraz xyz=1 to (1+x)(1+y)(1+z)≥8

zombi: I to ekstra trzymaj Wykaż, że jeśli x,y,z>0 i x+y+z=1

	1		1		1
(1+		)(1+		)(1+		) ≥ 64
	x		y		z

5-latek: czesc zsatanawiam sie Saizou jakie tu mozna srednie zastosowac Jeszce chwilke dobrze

Saizou : powiem tyle że jeszcze takiego czegoś chyba nie rozwiązywałeś

Piotr 10: Witam, przyznam, że ciekawe

Saizou : a prostsze niż się wydaje xd

5-latek: PO prawej stronie nierownosci zastosuje srednia geometryczna postaci ³√1*x*1*y*1*z=³√xyz a Lewa strona musi byc wieksza od prawej wiec albo arytmetryczna albo srednia kwadratowa Ale powiem CI ze nie wiem jak lewa zapisac

Piotr 10: Ja to przypuszczam, że trzeb zrobić trzy nierówności odpowiednie i je wymnożyć ?

Saizou : po prawej dobrze ale nie do końca, dam podpowiedź P=√1*a*√1*b*√1*c nad lewą pokąbinuj

Saizou : Piotrze to są zadania do [B[5−latka] xd to dla ciebie zadanko z Pracy zawodusa vel Kacpra Wyznacz największą wartość funkcji f(x)=x¹⁶−x¹⁸

5-latek:

1+x		1+y		1+z
	*		*		>=√x*√y*√z
2		2		2

(1+x)(1+y)(1+z)
	>=√xyz ale xyz=1 wiec √xyz=1
8

(1+x)(1+y)(1+z)>=8 Zrobilem to tak Ale teraz jak dziecku wytlumacz dlaczego to musielismy rozbic na 3 pierwiastki

Saizou :

	1+x		1+y		1+z
a skąd wziąłeś		*		*
	2		2		2

Godzio:

	8
Odpowiedź: (		)6
	27

Trafiłem z tą największą wartością?

zombi: Właściwie nie musiałeś rozbijać: (1+x)(1+y)(1+z) = 1 + x + y + z + xz + xy + yz + xyz − 8 składników, więc

(1+x)(1+y)(1+z)		1 + x + y + z + xz + xy + yz + xyz
	=		≥ p8{xyz)4 = 8√1 = 1
8		8

⇔ (1+x)(1+y)(1+z) ≥ 8

Saizou : Godzio w pracy jest inna odpowiedź

Godzio:

	16
(		)6 miało być, ale to tak czy siak nie wiem czy się nie walnąłem, przeliczę na
	27

kartce

zombi: 5latek w przykładzie Saizou akurat nie trzeba było rozbijać na 3 nierówności (aryt ≥ geom), ale co gdyby składników było więcej? Nie pałowalibyśmy wtedy zadania wymnażając n−składników, tylko trzeba wpaść na coś ładniejszego. Zrób mój przykład tam trzeba pogłówkować, rozbić co nie co.

5-latek:

	1+x
Saizou wzialem to tak Jeden czynnik jest (1+x) wiec jego srednia arytmetyczna to
	2

i tak samo pozostale czynniki tak wzialem . Ale czy tak mozna ? Czy nalezy zrobic tak jak zombi pokazal

Saizou : to spoko, jest dobrze

zombi: Oczywiście, że możesz zrobić tak jak zrobiłeś tzn. x+1 ≥ 2√x y+1 ≥ 2√y z+1 ≥ 2√z * ⇔ (x+1)(y+1)(z+1) ≥ 8√xyz = 8 Można na dwa sposoby albo jak ja ci pokazałem albo jak ty zrobiłeś

5-latek: Zombi teraz twoj przyklad on jest dla mnie trudniejszy Tez pewnie po prawej stronie geometryczna tylko jak ja zapisac Czy tez nalezy rozbic na 3 nierownosci? moze tak >= √1/x*√1/y*√1/z =U{1}{√ xyz tylko z etutaj znie eskorzystamy z zalozenia ze x+y+x=1

zombi: Podpowiedź: tak, rozbij na 3 nierówności

5-latek: Tzn prawa strona bedzie dobrze ?

	1
czyli
	√xyz

Natomiast bardzo duzy bedzie problem z lewa strona

	(x+1)(y+1)(z+1)
jesli nawet sprowadze ja do wspolnego mianownika To dostane
	xyz

a z tym juz nie wiem co zrobic

zombi: Podpowiedź 2

	1		x+1
1 +		=
	x		x

5-latek: Bedziemy dalej brnac

x+1		y+1		z+1
	*		*		Przepraszam ale nic na chwile obecna nie wymysle
x		y		z

zombi: No to patrz Podpowiedź 3 po niej już zrobisz

x+1		x+x+y+z
	=		≥ 4√x2yz
4		4

itd. itd. wymnóż 3 nierówności, podziel wszystko przez xyz i powinno wyjść

5-latek: dziekuje na razie Teraz muszse isc spac bo jutro rano jade remontowac samochod. Jak wroce to dokoncze .Dobranoc

5-latek: W zwiazku z tym ze jednak nie na 9 a na 11 musze byc w warsztacie do remontu chcialbym wrocic do tej lewej strony tej nierownosci . Nie ukrywam ze zeby rozwiazywac takie nierownosci i zauwazac rozne niuanse z tym zwiazane trzeba ich bardzo duzo rozwiazac i byc na biezaco Chodzi mi o zadanie ktore zadal mi zombi o godzinie 22:24 i lewa strone tej nierownosci Mianowicie o to ze

	1		x+1
1+		=
	x		x

	x+1		x+x+y+z
I teraz tak		(dlaczego napisal podzielone przez4) =		−−wiec tak 1
	4		4

zastapilismy w tym wyrazeniu z zalozenia x+y+z=1 i jest 4 czynniki wobec tego musimy to podzielic przez 4 . Srednia geomeetryczna z tego to wiem ze taka z tych 4 czynnikow jest

	x+1
Nie rozumiem tego co stalo sie z tym x z mianownika w wyrazeniu
	x

Prosze o dokladne wytlumaczenie . Mysle z ejesli to zrozumiem dokladnie to latwiej mi bedzie rozwiazywac inne podobne nierownosci

5-latek: Wiec jesli dobrze mysle to ten x , y z w mianowniku zostana i moje wyrazenie

	(x+1)(y+1)(z+1)
to		bedzie mialo postac
	xyz

x+x+y+z)(y+y+x+z)(z+z+x+y)
4*4*4xyz

natomiast prawa strona nierownosci ⁴√x²yz *⁴√y²xz* ⁴√z²yx dokoncze pozniej bo juz muszs jechac .

zombi: Patrz na to: Skorzystamy z AM−GM (aryt − geom) dla 4 liczb

x+x+y+z
	≥ 4√x2yz ⇔ x+x+y+z ≥ 44√x2yz
4

Analogicznie dla x+y+y+z ≥ 4⁴√xy²z i x+y+z+z ≥ 4p4{xyz² Teraz mnożymy te 3 nierówności i mamy (x+x+y+z)(x+y+y+z)(x+y+z+z) ≥ 64⁴√x⁴y⁴z⁴ = 64xyz Czyli z założenia − (x+1)(y+1)(z+1) ≥ 64xyz Dzielimy obustronnie przez xyz i mamy

(x+1)(y+1)(z+1)
	≥ 64
xyz

A to jest równoważne

x+1		y+1		z+1
	*		*		≥ 64
x		y		z

I kosmetyka

	1		1		1
(1+		)*(1+		)*(1+		) ≥ 64 ckd
	x		y		z

5-latek: Czesc . Dopiero wrocilem z warsztatu i zaraz to zapiszse sobie do zeszytu . Dzisiaj nie mysle bo stracilem troche kasy na remont dzisiaj a tu jeszcze ukazalo sie ze do wydania prawie 500zl bo wystrzelil amortyzator akuratnie po gwarancji i muszse kupic 2

5-latek: Dobry wieczor Milu Pozdrawiam Najgorszse jest to ze (nawet nie chce o tym myslec) ale moj monitor tez bedzie juz niedlugo dobijal wieku 7 lat I jak tu ciagle myslec pozytywnie

5-latek: Milu jak teraz bede musial kupic nowy monitor to kupie 24 calowy bo kiedys taki znajomy mojej corki mowil ze zmieszcza sie na nim 2 arkusze A4

Metis: Kolejny plus laptopów

5-latek: Metis jak ktos nie nosi okularow

Metis: Ja mam soczewkę Ale wada tylko na jedno oko

5-latek: ja dopiero mam +3,5 Mozez spojrzec tutajhttps://matematykaszkolna.pl/forum/256398.html

Mila: Metis, zdrowiej nosić okulary.

Metis: 5−latku masz prawie taką wade z jaką ja zaczynałem. Prawie bo 0,5 dioptrii to nadal niemało Okulary nosiłem od 1 gimnazjum i wadę udało mi się zbić do 2.25 przez to że jeszcze rosłem , a wraz ze mną gałka oczna Milu masz rację, ale okropnie wyglądało szkło grubsze od drugiego o dobre kilkanaście mm. Poza tym pewnego rodzaju wygoda, zważając na fakt że jedno oko całkowicie zdrowe.

bezendu: Od dziś Technik Mechatronik.

jakubs: Gratulacje

bezendu: Dziękuję

5-latek: Moje gratulacje

Metis:

bezendu:

Mila: Zdrowie bezendu, Technika i studenta.

bezendu: Teraz wypadałoby się pouczyć tych granic albo odpoczywać

Metis: Masz miesiąc to odpoczywaj, niektórzy w poniedziałek zaczynają kolejny" rozdział ":(

bezendu: A potem masz 5 miesięcy wakacji

Metis: Jakie 5

bezendu: Jeśli idziesz do ostatniej klasy liceum to masz 5 miesięcy wakacji.

Metis: 2