Wykaz ze 5-latek: Wykaz ze dla dodatnich a b b c spelniona jest nierownosc √(a+c)(b+d)>=√ab+√cd/² wtw (a+c)(b+d)>=ab+2√ab*cd+cd wtw ab+ad+cb+cd>=ab+2√ab*cd+cd i jak ja ma tu skorzystac z srednich ?

5-latek: ma byc dodatnich a b c d

5-latek: ja podejrzewam arytmetyczna i geometryczna tutaj ale jak to nie wiem

5-latek: Po redukcji zostanie mi ad+cb>=2√ab*cd ale co dalej ?

wmboczek: to może przemienność mnożenia?

Mila: ad+bc≥2√(ad)*(bc) ad+bc−2√(ad)*(bc)≥0⇔ (√ad−√bc)²≥0 I komentarz.

5-latek: Mozesz to pokazac bo jedyne co przychodzi mi na mysl to ad+cb=2√cd*√ab ale co dalej to nie wiem

Patryk: wzór skróconego mnożenia masz przecież

5-latek: Dobry wieczor MIlu Pozdrawiam Dziekuje wam . To rozkladanie z tymi pirerwiastklami jest troche trudne . Zaraz zapisuje A jak to zrobic srednimi bo autor po podniesieniu do kwadratu sugeruje wlasnie srednie arytmetyczne i geometryczne jesli macie pomysl

Saizou : po podniesienu do wkadratu ad+cb≥2√ab*cd z średniej Am≥Gm

ad+cd
	≥√ad*cd
2

Mila: No i gotowe. Tylko masz literówkę .

Saizou : oj tam, to się skwadratuje

Mila: 5−latek, poprawi.

Saizou : ale wiadomo o co kamman

5-latek: Dzieki Saizou Nie bylo to latwe zwlaszcza ze trzeba bylo miec pomysla ma przemiennosc mnozenia pod pierwiastkiem najpierw

5-latek: Tak poprawie sobie

pk: Zilustruj następujący zbiór:

	4i−3
A={z∊C; |		|≥5}
	3i−z

proszę o pomoc, próbowałem podstawiać za z=x+iy, ale trochę się to komplikowało wtedy

pk: sry to nie tutaj

Mila: PK Załóż nowy wątek.

Saizou : 5−latek a teraz to Udowodnij, że jeśli x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z = 1, to

	1
x2+y2+z2≥
	3

5-latek: Przyznam sie bez bicia ze nie wiem jak to zrobic Jedynie co przychodzi mi w tej chwili na mysl to

x2+y2+z2
	czyli srednia arytmetyczna tych liczb
3

Saizou :

	x+y+z
śr. arytmetyczna to dobry pomysł, bo mamy		, ale musimy mieć nierówność
	3

5-latek: Bardzo Cie prosze o pomoc w takich nierownosciach teraz gdyz wieczorem jestem w stanie myslec

Saizou : Kw≥Am≥Gm≥Hm jak myślisz, która ?

5-latek:

	1
Nie wiem ale ta		to wskazywalaby cos do potegi trzeciej
	3

Saizou : a dlaczego do potęgi 3

5-latek: ja bym postawil na geometryczna wiec byloby

x2+y2+z2
	>=3√x2*y2*z2 ale mamy jeszce zalozenie i ono musi sie do czegos
3

przydac

Saizou : a w jakiej średniej występują x²+y²+z², a w jakiej x+y+z (żeby wykorzystać założenie)?

5-latek: ja chyba w ogole zle mysle I to bedzie tak bo my mamay udowodnic to wiec nie mozemy wyjsc od tezy

	x+y+z
Wiec tak		>=3√x*y*z
	3

Saizou : musimy znaleźć takie połączenie średnich, żeby było x²+y²+z² i x+y+z , powiem że to nie jest średnie geometryczna

5-latek: x²+y²+z² wystepuja w sredniej kwadratowej ale srednia jkwadratowa jest weiksza od sredniej arytmetycznej

Saizou : czyli jak to będzie wyglądac ?

5-latek:

	x2+y2+z2		x+y+z
√		>=
	3		3

Saizou : a dalej jak ?

5-latek:

x2+y2+z2		x+y+z
	>=(		)2
3		3

x2+y2+z2		x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
	>=		dalej stoje bo nie wiem co z tymi 2xy 2zx i 2
3		9

yz

Saizou : a co mamy w założeniach ?

5-latek: moge zrobic tak 9(x²+y²+z²)>=3(x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz) ale dalej stoje

Saizou : Eto nie ładnie tak robić za kogoś zadanka

Eta:

Eta: "małolatkom" trzeba

Saizou : 5−latek sam dałby sobie radę

Eta: Było ......... i ...... nie ma

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/256355.html Też mam wykasować?

Saizou : a to niby czemu?

Eta: No bo znów napiszesz: "Eto nieładnie ..... "

5-latek: Jestem CI wdzieczny za ten przyklad Wiele mnie nauczyl . Nalezalo patrzec na zalozenia .Jesli jeszce znajdziesz taki podobny to proszse Cie wstaw ale wieczorem . Jescze raz dziekuje . Potem sobie go zapiszse do zeszytu

Saizou : bo ładnie to Etuś

5-latek: Saizou nic nie szkodzi Eta niech pomaga Jej pomoc tez jest cenna

Saizou : mam nadzieję ze Eta nie czuje się urażona, bo to dzięki niej i Godziowi jakoś się tego nauczyłem

5-latek: Powiem szczerze rozwalil mnie ten przyklad . Dotychczasowe praktycznie konczyly sie albo (a+b)²≥0 lub (a−b)² ≥0 . Wczoraj Eta tez dala przyklady gdzie tez nalezalo wiedziedzc

	a		b
ze		+		≥2
	b		a

Saizou : to masz ode mnie jeszcze do udowodnienia

	1
a+		≥2 gdzie a>0
	a

spróbuj ze średnich a nie z przekształacania

Eta: am−gm

Saizou : ciiii.....

5-latek: Wiesz mysle nad tym i tylko przychodzi mi na mysl srednia arytmetyczna i srednia geometryczna ale jak to udowodnic to nie wiem moze jaks podpowiedz

Saizou : kombinujesz dobrze, pomyśl jeszcze trochę

a+b
	≥√ab
2

5-latek: Przepraszam ale jednak nie umiem tych srednich

Saizou :

	1
mamy udowodnić że a+		≥2
	a

a to co jest po lewej stronie co przypomina (jaką średnią)?

5-latek:

	1
Nawet jesli		przyjmiemy jako b do dostane a+b≥2 ale dalej nie wiem
	a

Saizou : podstaw to poprawnie

5-latek: Przypomina mi srednia arytmetyczna

Eta:

1   a+   a
	−−−średnia arytm
2

	1
√a*		−−− średnia geom
	a

teraz działaj ..... am− gm

Eta: Sorry Saizou już nie przeszkadzam

5-latek: No dobrze jesli przypomina mi to srednia arytmetyczna to srednia arytmetyczana jest zapisana w

	a+b
postaci
	2

Saizou : skoro przypomina to Ci średnią arytmetyczną to podstaw

	1
a=a b=		+ nierównośc am−gm
	a

5-latek:

	√a
srednia geometryczna to
	a

	2(a2+1)
srednia arytmetyczna (zebym sie nie pomylil
	a

2(a2+1)		√a
	>=		to 2(a2+1)>=√a no chyba ze nie o to chodzi
a		a

Saizou : za bardzo kombinujesz, spróbuj po linii najmniejszego oporu NIE mówmy po najmniejszej linii oporu, bo to błąd

5-latek: Proszse pokaz Saizou

Saizou : Am−Gm

x+y
	≥√xy
2

	1
dla x=a i y=		otrzymamy
	a

1   a+   a		1
	≥√a*
2		a

i dalej..........

5-latek:

	1		1
moge to zapisac tak a+		≥2√a*
	a		a

Powiem Ci ze do konca tego tak bardzo nie rozumiem

zombi: Bo tu nie ma nic do kombinowania

	1
Z nierówności między aryt. geom. dla liczb a i		mamy
	a

1   a+   a		1
	≥ √a*		= 1
2		a

⇔

	1
a+		≥ 2 ckd
	a

Saizou : no cóż, ja będę się zbierał a dowód pokazał zombi, a teraz mówię dobranoc Wszystkim

5-latek: Dziekuje Eta Saizou i zombi Dobranoc tym co ida spac W koncu teraz zalapalem o co w tym dowodzie chodzi

zombi: Najgorsze jest, gdy do udowodnienia jest coś mega prostego i można to załatwić w 1−2 krokach, bo się później człowiek zastanawia czy to wszystko, czy poprawnie

5-latek: zombi ucze sie(przynajmniej sie staram zrozumiec) dopiero tych srednich i to tak wyszlo . Wiesz co zrobilem Podstawilem za a=1 do wzoru i wyszlo . Faktycznie proste .