Indukcja. bezendu: Pokazać, że dla dowolnego n naturalnego zachodzi

	n(n+1)
1+2+..n=		?
	2

Janek191: a₁ = 1 r = 1 a_n = n

	n*( n + 1)
Sn = 0,5*( a1 + an)*n = 0,5*( 1 + n)*n =
	2

Janek191: Nie zauważyłem, że miało być wykazane przez indukcję − to bardzo proste !

bezendu: Nie miałem nigdy indukcji więc proszę jakiś komentarz wyjaśnienia !

Trivial: S_n = S_n−1 + n ← wystarczy sprawdzić czy to zachodzi.

Kacper: 1. Zachodzi dla n=1 2. Jeśli z zachodzi dla n, to zachodzi dla n+1

Janek191:

	1* 2
Dla n = 1 mamy 1 =
	2

Ustalamy dowolne n ∊ ℕ

	n*( n + 1)
i zakładamy, ze 1 + 2 + ... + n =
	2

Należy pokazać, że równość ta jest prawdziwa dla liczby n + 1 , tzn.

	n + 1)*( n + 2)
1 + 2 + .. + n + ( n + 1) =
	2

Korzystamy z założenia

	n*( n + 1)		2(n + 1)		n + 2
( 1 + 2 + ... + n ) + ( n + 1) =		+		= ( n + 1)*		=
	2		2		2

= U{ ( n + 1)*( n + 2)} Na podstawie zasady indukcji wnioskujemy, że równość jest prawdziwa dla każdego n ∊ ℕ

5-latek: Janek ale on chcial indukcynjie Musi najpierw pokazac ze dla n=1 lewa strona = prawej

	1(1+1)
Sprawdzany L=1 P=		=1 czyli L=P
	2

DRugimkrok indukcyjny Sprawdzamy czy jesli rownosc jest prawdziwa dla n to czy jest prawdziwa dla nastepnej liczby naturalnej n+1

	n(n+1)
L= 1+2+3+4+........+n+(n+1) ale 1+2+3+4...+n=		+n+1= po przeksztalceniach
	2

	(n+1)(n+2)
	2

Teraz strona prawa W miejsce n wstawiamy n+1

	(n+1)(n+1+1		(n+1)(n+2)
P=		=		czyli L=P
	2		2

Janek191:

	1* 2
Dla n = 1 mamy 1 =
	2

Ustalamy dowolne n ∊ ℕ

	n*( n + 1)
i zakładamy, ze 1 + 2 + ... + n =
	2

Należy pokazać, że równość ta jest prawdziwa dla liczby n + 1 , tzn.

	n + 1)*( n + 2)
1 + 2 + .. + n + ( n + 1) =
	2

Korzystamy z założenia

	n*( n + 1)		2(n + 1)		n + 2
( 1 + 2 + ... + n ) + ( n + 1) =		+		= ( n + 1)*		=
	2		2		2

= U{ ( n + 1)*( n + 2)} Na podstawie zasady indukcji wnioskujemy, że równość jest prawdziwa dla każdego n ∊ ℕ

Janek191: Na końcu miało być

	( n + 1)*( n + 2)
=
	2

Janek191: Na końcu miało być

	( n + 1)*( n + 2)
=
	2

bezendu: zawsze sprawdza się 1) dla n=1 2) dla n+1 ?

Kacper: zanim zapytasz poszukaj trochę w internecie http://pl.wikipedia.org/wiki/Indukcja_matematyczna

jakubs: I tutaj https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html

bezendu: Dzięki choć na wiki to jest napisane językiem dla studenta, a nie osoby która dopiero rozpoczyna studia.

Kacper: Ostanie linijki są dla każdego

bezendu: w linku od jakubs jest trochę inaczej bo jeszcze dla k się sprawdza

Kacper: Dokładnie to samo, tylko inaczej zapisane.

bezendu: Czyli ja mam sprawdzać n=1 n+1 Tak jak zrobił to Janek ?

Kacper: Tak.

Trivial: bezendu indukcja polega na: 1. Sprawdzeniu czy teza zachodzi dla jakiegoś ustalonego n₀ początkowego. 2. Wykazaniu, że jeśli teza zachodzi dla liczby naturalnej, to zachodzi też dla następnej liczby naturalnej (jej następnika). W ten sposób dowodzisz, że twierdzenie zachodzi dla każdej liczby naturalnej n ≥ n₀.

Trivial: Skrótowo można to zapisać tak (T(k) − teza zachodzi dla liczby k): (T(n₀) ∧ (T(n) ⇒ T(n+1))) ⇒ ∀n≥n₀ T(n)

bezendu: Ok,dziękuję Panowie.

Mila: Badając związki między liczbami naturalnymi, dostrzegamy pewne prawidłowości. Dla dowodu,że zaobserwowana przez nas zależność zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych stosujemy zasadę indukcji matematycznej. 1) Sprawdzamy np. prawdziwość wzoru dla n=1 2) Niech k będzie dowolną ustaloną liczbą naturalną. wykazujemy, że z prawdziwości wzoru ( twierdzenia) dla k wynika prawdziwość dla k+1. Jeżeli to wykażemy, to tw. zachodzi dla wszystkich n>1.

bezendu: A podzielność liczb też z tego wykazujemy ?

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/152078.html Czytaj 22:01 i komentarz Vaxa

bezendu: Dziękuję.

lunatyk: To wcale nie takie proste jak pisze Vax... Zasada indukcji dotyczy zbiorów dobrze uporządkowanych... Zbiór liczb całkowitych nie jest dobrym porządkiem!... Na przykład zbiór liczb całkowitych może zostać zdefiniowany (lub scharakteryzowany) jako najmniejszy spośród zbiorów X⊂R spełniających następującewarunki: 1∊X m,n∊X ⇒m+n, m−n ∊R Własności liczb całkowitych można więc, przynajmniej teoretycznie, dowodzić korzystając z zasady indukcji wynikającej z takiej definicji.

Ja: Przed reformą oświaty indukcja była w szkole średniej. Dzisiaj uczniowie mają 2 godz tygodniowo od I klasy szkoły podstawowej do matury 2 godz ale religii.

Janek191: @Ja: Przeczytaj adres : W obronie matematyki − prof. dr hab. Stanisława Wielgusa rektora KUL ( 1 989 − 1 998 ) Jest w internecie − wystarczy wpisać : W obronie matematyki

bezendu: Janek jeszcze zapomniał o założeniu ? k≥1 n=k

bezendu: Od razu widać, że to jakaś durna gra dla dzieci... Nie zabłysłeś ...

bezendu: ?

bezendu: .

bezendu: Korzystając z indukcji udowodnij, że 13ⁿ−7 jest podzielne przez 6 1. n=1 13−6=6 Prawda 2.Zakładam, że 13ⁿ−6 jest podzielne przez 6 13ⁿ−7=6k 3.n+1 13ⁿ⁺¹−7=6k i co dalej ?

Mila: 1) Dla k=1 mamy 13¹−7=6, 6|6 2) Wykażemy ,że dla dowolnego k≥1 zachodzi wynikanie 6|(13^k−7)⇒6|(13^k+1−7) 13^k−7=6 m, m∊C 13^k=6m+7 13^k+1−7=13^k*13−7=13*(6m+7)−7=13*6m+7*13−7= =6*(13m)+12*7= =6*(13m+2*7)⇔6|(13^k+1−7)⇔ 6|(13ⁿ−7) dla n≥1, n∊N cnw =====

bezendu: Czemu mój 2) jest źle ?

Mila: Napisałeś 13ⁿ−6 zamiast 13ⁿ−7. W (3) napisałeś 13ⁿ⁺¹−7=6k, a było wcześniej 13ⁿ−7=6k.

bezendu: 2. Zakładam, że 13ⁿ−7=6k teraz dobrze ? Czy mam pisać o tym k≥1 To pytanie zadałem już wcześniej, ale nikt nie odpowiedział....

Mila: n≥1, bo dla n=1 sprawdziłeś prawdziwość tw. , k∊C

bezendu: Na internecie widziałem, że drugi krok to n=k k≥1 To jak w końcu z tym jest ?

Mila: 22:10 podałam wg literatury z oficyny Quadrivium , Wrocław, recenzja książki− pracownik MatUWr. Czy zmieniaja się trendy w zapisie nie wiem.

bezendu: Tutaj Pani tłumaczy inaczej https://www.youtube.com/watch?v=p5dNe5Vph3s

Mila: Wszystko zależy od zadania. Zadanie: Wykaż, że dla liczb naturalnych n≥10 zachodzi nierówność 2ⁿ>n³. 1) dla k=10 zachodzi nierówność, bo: 2¹⁰=1024>1000=10³ 2) dla dowolnego k≥10 zachodzi wynikanie: 2^k≥k³⇒2^k+1≥(k+1)³ i tu musisz to wykazać.

Mila: To jest to samo co Ci napisałam, w moim pkt(2) są dwa punkty Pani (2 i 3) . Tam masz wykazywaną prawdziwość tw. dla n≥1, więc naturalnie k≥1. Ty mylisz oznaczenia we wpisie 22:25.

bezendu: Ok. Dziękuję jednak zostanę przy tym n=k

bezendu: 3⁴ⁿ⁺²+1 jest podzielne przez 10 1. n=1 3^4*1+2+1=730 Prawda 2. n=k k≥1 3⁴ⁿ⁺²+1=10k 3^4(k+1)+2)+1=10(k+1) ?

Godzio: Lepiej nie wprowadzać sobie kolejny literek (to akurat może się wykładowcom nie spodobać ) Apropo ostatniego przykładu Zakładamy prawdziwość dla pewnego n: tzn. 3^{4n + 2} + 1 = 10k (jak sam widzisz wprowadziłeś dwa razy k i to już jest poważny błąd! ) Sprawdzamy dla n + 1: 3^{4(n + 1) + 2} + 1 = 3^{4n + 2} * 3⁴ + 1 = 3⁴(3^{4n + 2} + 1) − 80 = [założenie] = 81 * 10k − 80 = 10(81k − 8) = 10p do kończy dowód.

Mila: Nie możesz tak napisać w pkt. (2) Powinno byc : 3^4k+2+1=10*m, m∊C Z tego ma wynikać prawdziwość : 10|(3^4(k+1)+2)+1⇔ (3^4(k+1)+2)+1=10*p, p∊C

bezendu: Dziękuję, jutro do tego wrócę.

Godzio: Ano i jeszcze jedna rzecz, na studiach już nie ∊C bo to liczby zespolone, całkowite jak się domyślasz z angielskiego będą oznaczane Z

bezendu: Mila też u siebie mam m i p ?

Kacper: W ogóle to powinni w końcu ujednolicić te symbole, bo cały świat pisze Z, a tylko u nas w szkole C co by uczniowie po polsku rozumieli...

Kacper: To po co się angielskiego uczy w szkołach?

Hajtowy: Kacper u mnie na początku pisali Z a później przeszli na C bo połowa nie jarzyła ocb

razor: "Z" akurat z niemieckiego jest

bezendu: Nie chodzi już o tę durne literki...

Mila: Przeczytaj dokładnie, o co mi chodzi. 23:14 Literą k oznaczasz wykładnik i i literą k oznaczasz współczynik przy wielokrotności 10 Jeśli np. liczymy: 3^4*1+2+1=730 =73*10 3^4*2+2+1=59050=5905*10 i to nie jest (73+1)*10 dwie różne liczby oznaczyłeś tą samą literą.

jakubs: Albo te kwantyfikatory, po co nam wprowadzali w szkole jedne, żeby na studiach zmieniać na drugie...

Mila: W Gm i LO oznaczenie: C− zbiór liczb całkowitych. Na studiach łatwo się studenci przestawiają na nowe oznaczenia i nie jest to duży problem. Poza tym jesteśmy w Polsce i posługujemy się językiem polskim. Trochę za dużo tej angielszczyzny wkrada się w nasze codzienne życie. Zapomina się ,że jest takie słowo jak : dobrze, dziękuję, przepraszam itp.

bezendu: Pokaż za pomocą indukcji, że dla każdego n∊N 10ⁿ+4ⁿ−2 jest podzielne przez 6 1. n=1 10+4−2=12 2. k=n k≥1 Otrzymuję: 10^k+4^k−2=6p 3. 10^k+1+4^k+1−2=6p Tak może być ?

zombi: Na razie zapisałeś kroki, teraz pokaż w 3 kroku, że L=P

bezendu: OK. 10^k*10+4^k*4−2 ?

Mila: 3) 10^k+1+4^k+1−2=6m, m∊C

bezendu: I to jest koniec zadania ?

Mila: Dobrze zacząłeś.22:18

bezendu: 22:19 to ostateczny zapis kończący zadanie ?

Mila: Jaki koniec? masz wykazać, że to jest wielokrotność 6, czyli da się przedstawić w postaci iloczynu liczby 6 i pewnej liczby całkowitej, skorzystaj z założenia .

zombi: Tak jak mówiłem zapisałeś 3) krok ok, ale teraz pokaż, że 10^k+1 + 4^k+1 − 2 jest podzielne przez 6 wykorzystując to co założyłeś w kroku 2)

bezendu: 10^k*10+4^k*4−2=6p Nadal nie wiem jak dokończyć ?

zombi: Przekształć sobie 2) załóżmy tak: 10^k + 4^k − 2 = 6p ⇔ 10^k = 6p − 4^k + 2 Teraz przechodzimy do 3) L = 10^k+1 + 4^k+1 − 2 = 10*10^k + 4^k+1 − 2 = 10*(6p − 4^k + 2) + 4^k+1 − 2 = 60p − 10*4^k + 20 + 4^k+1 − 2 = 60p − 4^k(10 − 4) + (20 − 2) = 60p − 4^k*6 + 3*6 = 6[10p − 4^k + 3] =6m

bezendu: Dziękuję.

zombi: Najważniejsza zasada: Krok 3 pokazujemy z wykorzystaniem kroku 2! nie inaczej, musisz go użyć.

Mila: Znowu to samo, to nie jest równe 6p, bo 6p było już w poprzednim punkcie. Dlaczego nie czytasz tego co Ci piszę? Z (2)⇒(3) W (2) 10^k+4^k−2=6p⇔10^k+4^k=6p+2 w (3)10^k+1+4^k+1−2=?6m, m∊C L=10^k*10+4k*4−2= =10^k*(6+4)+4*4^k−2= =10^k*6+10^k*4+4*4^k−2= =6*10^k+4*(10^k+4^k)−2= =6*10^k+4*(6p+2)−2= =6*10^k+4*6p+8−2= =6*(10^k+4p+1)=6*m, gdzie m=10^k+4p+1 i m jest całkowitą liczbą.

bezendu: Też używasz p przecież ?

Mila: Używam, bo wykorzystuję równość z (2) punktu.