wykazywanie miłosz: Wykaż, że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Mam tylko pytanie czy dane rozwiązanie poniżej jest słuszne: 8a²+7a²=3k Zaczynam udowadniać że 8 jest podzielne przez 3 i daje resztę 2. a=1 8*1²=8 8/3=6r2 dla a+1 8(a+1)²=3k 8(a² +2a +1)=3k 8a²+16a+8=3k dla a=1 8*1²+16*1+8=32 32/3 =30 r2 Udowodniłem że dla wyrażenie 8a² jest podzielne przez 3 i daje resztę 2. To samo ma dawać przy dzieleniu przez 3 resztę 1 więc : 8a²+16a+8 −a²=3k dla a=1 8*1²+16*1−1²=3k 31=3k 31/3=10r1. Czy to jest słusznie udowodnione? Jak nie to dlaczego?

Vax: Pokaż, że kwadrat liczby postaci 3k+2 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.

miłosz: Czy ktoś odpowie zgodnie z zadanym pytaniem?

Vax: Pierwsze stwierdzenie: 8 jest podzielne przez 3 i daje resztę 2. Jak liczba może być jednocześnie podzielna przez 3 i dawać resztę 2? Zakładam, że chodziło o to, że 8 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, ale po co sprawdzasz tutaj 8 ? Masz udowodnić tezę dla dowolnej liczby postaci 3k+2.

miłosz: Vax, mam na myśli moją treść zadania a nie Twoją , poza tym czy dobrze to udowodniłem?

Vax: Ja mówię właśnie o Twojej treści. W Twoim poście nie widzę żadnego dowodu. Sprawdzasz resztę z dzielenia przez 3 liczby 8, po co ? Dalszy zapis też większego sensu nie ma. Popatrz jeszcze raz na założenie i tezę: Masz założenie, że dana jest liczba całkowita dająca resztę 2 z dzielenia przez 3. W jaki sposób można taką liczbę zapisać ? Jak wcześniej już powiedziałem, jest to liczba postaci 3k+2 dla pewnego całkowitego k. Masz pokazać, że kwadrat takiej liczby, czyli (3k+2)² daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.

miłosz: vax, 8 dałem jako przykład , tak przyjąłem i na pewno jest to nie słuszne? Gdy 3k +2 podstawiłem w kwadrat otrzymałem: 9k+6k+4 i co dalej?

Vax: Teraz zostaje pokazać, że 9k²+6k+4 przy dzieleniu przez 3 dla dowolnego całkowitego k daje resztę 1

miłosz: vax, 9k +6k +4, chodzi o to że dla dowolnej k suma liczb będzie dzieliła się przez 3 z resztą jeden tak?

Vax: Źle podniosłeś do kwadratu, zauważ, że: (3k+2)² = 9k²+12k+4

miłosz: ok , masz rację , ale czy mój post że dla dowolnej... jest słuszny, dobrze myślę?

Vax: Pokaż teraz, że 9k²+12k+4 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Zauważ, że skoro ma dawać resztę 1 przy dzieleniu przez 3, to musi być postaci 3s+1, dla pewnego s Czyli masz sprawdzić czy istnieje takie całkowite s, że 3s+1 = 9k²+12k+4

miłosz: czyli że dla dowolnej k suma liczb będzie dzieliła się przez 3 z resztą jeden tak? Np . 9*1² +12*1+4= 25 czyli 25/3= 24r1 , o to chodzi?

Vax: Czyli, że dla dowolnego całkowitego k wyrażenie 9k²+12k+4 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, nie patrz tutaj na sumę cyfr I nie wstawiaj różnych wartości k, np k=1 itd, bo wtedy sprawdzasz poszczególne przypadki, a masz pokazać, że teza zachodzi dla dowolnego k.

miłosz: aha ok, a wykazywanie za pomocą indukcji matematycznej, nie można w tym przypadku?

Vax: Można, ale szybciej tak.

miłosz: to pokaż mi jak z tą idukcją , proszę, jeśli możesz

miłosz: bo ja całe zadanie robiłem uzwględniając zasady indukcji, i nie wiem co zrobiłem w takim razie źle.

Vax: To za kilkadziesiąt minut, bo teraz muszę lecieć, ale z indukcji będzie naprawdę o wiele dłużej, skoro pokazujemy dla dowolnych liczb całkowitych to trzeba pokazać dwie implikacje T(k) ⇒ T(k+1) oraz T(k) ⇒ T(k−1)

miłosz: aha , to może źle rozumiem treść, tą indukcję nie tak sobie wyobrażałem

miłosz: czyli za to moje zadanie ,które sam zrobiłem , nie dostałbym punktów żadnych?

GROM: Nie dostałbyś miłosz żadnych punktów. Twoje, pożal się Boże, rozwiązanie nie jest warte funta kłaków.

Mila: Przykład zastosowania indukcji matematycznej. Zadanie. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 4ⁿ−1jest podzielna przez 3. Rozwiązanie: Dowód metodą indukcji matematycznej. 1) Dla n=1 twierdzenie jest prawdziwe, bo 4¹−1=3 2) Niech k będzie dowolną liczba naturalną. Pokażemy, że jeżeli liczba 4^k−1 jest podzielna przez 3 , to również liczba 4^k+1 jest podzielna przez 3. Oznacza to, że mamy wykazać, że jeżeli istnieje liczba całkowita a taka, że 4^k−1=3a, to istnieje liczba całkowita b taka, że 4^k+1−1=3b. 4^k+1−1=4*4^k−1=3*4^k+4^k−1=3*4^k+3a=3(4^k+a) Ponieważ 4^k+a jest liczba całkowitą, to 4^k+1−1=3b, gdzie b=4^k+a i b∊C cnw

Mila: Należy jeszcze dodać, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych.

miłosz: mila dzięki bardzo za to, ale mam pytanie 3*4k+4k−1 skąd tu się wzięło 3 razy...?

Eta: Zad. od Mili ( bez indukcji) aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²*b+.... +bⁿ⁻¹) to: 4ⁿ−1= (4−1)(4ⁿ⁻¹+4ⁿ⁻²+... +1) = 3*k, k€C

miłosz: Eta, skąd to 3*k , wytłumacz mi

Mila: Eto, masz rację co do wyboru sposobu, ale chciałam wybrać łatwy przykład dla Milosza. Miłosz: 4*4^k =3*4^k+4^k bo jesli podstawisz 4^k=t to masz: 4*4^k=4t=3t+t

Eta: 4−1= 3 i (4ⁿ⁻¹+4ⁿ⁻²+ ...+1) €C i ta suma w tym nawiasie jest liczbą całkowitą oznaczam ją jako k

miłosz: nie czaje tego całego przejścia :4k+1−1=4*4k−1=3*4k+4k−1=3*4k+3a , po kolei , mogłabyś ?

miłosz: i jeszcze nie czaje dlaczego oznaczamy k€C a nie k€N?

Ewa: Niech n to liczba całkowita, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. n = 3k + 2, k∊C. n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 3 + 1 = 3(3k² + 4k + 1) + 1 = 3m + 1, m = 3k² + 4k + 1∊C a więc n² = 3m + 1 co należało wykazać.

Mila: Zamiast "nie czaję" piszemy nie rozumiem. Miłosz: 4*4^k =3*4^k+4^k bo jesli podstawisz 4^k=t to masz: 4*4^k=4t=3t+1t dalej wracając do potęgi: 3t+1t=3*4^k+4^k 3*4^k+4^k−1=3*4^k+3a (bo 4^k−1=3a) wyłączamy 3 przed nawias =3(4^k+a) Pomyśl spokojnie i jutro znowu możemy zrobić inny przykład z zastosowaniem indukcji. Poszukaj w google , co piszą na temat indukcji.

miłosz: Ewa, jak to można sprawdzić czy to prawda?

Ewa: Uruchom myślenie

miłosz: Mila ,czy to prawda że każde zadanie z treścią uzasadnij , wykaż , udowodnij, można użyć indukcji?

miłosz: ewa skąd to ,3m + 1?

miłosz: już wszystko rozumiem ewa

Mila: Zasada indukcji matematycznej jest metodą dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych.

pigor: Ufff. amen i gratuluję cierpliwości . ...

Vax: Mila, za pomocą indukcji można również dowodzić twierdzeń o liczbach całkowitych, jednak wtedy po sprawdzeniu tezy dla pewnego k należy oprócz wykazania T(k) ⇒ T(k+1) wykazać T(k) ⇒ T(k−1)