równania niewymierne tyu: obserwowałem zadania, które rozwiązywał Lukas w tym wątku https://matematykaszkolna.pl/forum/255592.html i mam pytania do tego tematu w przypadku rozwiązywania równań równoważnych, w których niewiadoma jest pod znakiem pierwiastka kwadratowego są możliwe do zastosowania 2 sposoby. I − metoda analizy starożytnych − podnoszę do kwadratu stronami, redukuję wyrazy, a potem ewentualnie znów do kwadratu stronami i sprawdzam, który pierwiastek jest obcy, a który jest rozwiązaniem II − metoda równań równoważnych − tutaj mam problem W książce jest napisane, że polega ona na tym, że Równanie wyjściowe przekształcamy w taki sposób, aby każde kolejno otrzymane równanie miało taki sam zbiór rozwiązań jak równanie bezpośrednio je poprzedzające (dbamy o to, aby pierwiastki obce nie pojawiały się podczas kolejnych etapów rozwiązywania. x) Jeśli strony równania L=P określonego w zbiorze D mają identyczne znaki (obie są ujemne lub obie strony są dodatnie) w pewnym podzbiorze D₁, gdzie D₁ ⊆ D, to równanie L=P jest równoważne równaniu L²=P² w zbiorze D₁ xx) Jeśli strony równania L=P określonego w zbiorze D mają przeciwne znaki w pewnym podzbiorze D₂, gdzie D₂ ⊆ D, to równanie L=P jest sprzeczne w zbiorze D₂ I jest taki przykład z książki √x²+1 = 2x+1 D=R Prawa strona równania jest zawsze dodatnia, a lewa strona w dziedzinie R może być dodatnia albo niedodatnia. Przypadek nr 1. − gdy 2x+1 jest niedodatnie (czyli mniejsze lub równe zero) 2x+1≤0 czyli x≤−0,5 więc dla x∊(−∞; −0,5) funkcja y(x)=2x+1 jest niedodatnia i jednocześnie w przedziale x∊(−∞; −0,5) funkcja f(x)=√x²+1 jest dodatnia, W tym przypadku D₂=(−∞; −0,5) Nie wiem czy dobrze utożsamiam D₂ z przedziałem (−∞; −0,5) Zatem na mocy xx) równanie √x²+1 = 2x+1 jest sprzeczne, bo w D₂ funkcja y(x) jest niedodatnia, a f(x) jest dodatnia Czyli z równości √x²+1 = 2x+1 wynika (√x²+1)² ≠ (2x+1)² Przypadek nr 2. gdy 2x+1 jest dodatnie 2x+1>0 więc x∊(−0,5;+∞) i x=D₁ czyli dla x∊(−0,5;+∞) zarówno f(x) jak i y(x) są dodatnie, więc na mocy x) równanie L=P można podnosić do kwadratu stronami, czyli L²=P² co w tym przypadku oznacza, że √x²+1 = 2x+1 i mogę podnosić stronami do kwadratu czyli prawdą jest, że (√x²+1)² = (2x+1)² Czy o to w tym chodzi, że jeśli w tym samym podzbiorze dziedziny lewa i prawa strona mają ten sam znak (albo obie ujemne albo obie dodatnie) to mogę podnosić obie strony do kwadratu Jeśli w tym samym podzbiorze lewa i prawa strona mają różne znaki, to nie mogę podnosić do kwadratu stronami

Kacper: Co to za książka? Czy autor zgłupiał? kto zrozumie takie dyrdymały... po prostu mamy równanie: √x²+1=2x+1 i teraz jak prawa strona jest ujemna, to równanie nie ma rozwiązań (lewa strona nieujemna, prawa ujemna) jak obie strony są nieujemne, to podnosimy do kwadratu

J:

	1
Lewa strona jest zawsze dodatnia , zatem prawa też musi być dodatnia , czyli x > −
	2

.... teraz podnosisz do kwadratu ... x² + 1 = (2x + 1)² .... ostatnie równanie ma dwa

	4
rozwiązania:x = 0 lub x = −		, ... ale to ostatnie nie spełnia założenia .... czyli:
	3

x = 0

tyu: ... no uczeń liceum musi zrozumieć. Dzięki za odpowiedź.