rownanie trygonometryczne gad: rownanie trygonometryczne , prawdopodobnie nie wymysle juz nic dla tego przykladu wiec daje tutaj: 1+ sin2x = cos2x dochodze do postaci 2sinx(sinx+cosx) i nie wiem co dalej

Godzio: cos2x − sin2x = 1 Zajmijmy się lewą stroną ...

	√2		√2
cos2x − sin2x = √2 * (		cos2x −		sin2x ) =
	2		2

	π		π		π
√2 * ( cos		cos2x − sin		sin2x ) = √2 * cos(		+ 2x)
	4		4		4

	π		√2
cos(		+ 2x) =
	4		2

Dalej sobie dasz radę? Inaczej (dokończę Twój sposób) ... 2sinx(sinx + cosx) = 0 (chyba o to Ci chodziło) sinx = 0 lub sinx = − cosx ⇒ tgx = 0 (bo jeśli cosx = 0 to sprzeczność)

ICSP: 1 + sin2x = cos2x (sinx+cosx)² = (cosx − sinx)(sinx + cosx) (sinx + cosx) * (sinx + cosx − cosx + sinx) = 0 2sinx(sinx + cosx) = 0

	π
2√2sinx * sin(x +		) = 0
	4

dalej już prosto.

gad: ale skad wam sie biora te 2√2 i π/4 tego w ogole nie rozumiem znalazlem na internecie podobne rozwiazania ale calkowicie tego nie rozumiem

gad:

	π
ICSP dlaczego tam jest 2√2sinx*sinx(x+		)=0
	4

utem: równanie ICSP sinx*(sinx+cosx)=0 możesz rozwiązać tak: sinx=0 lub sinx+cosx=0

	π		π
x=kπ lub sinx=−cosx /: cos(x) , cos(x) ≠0 ( jeśli cosx=0 to x=		i sin		=1,
	2		2

wtedy równanie nie jest spełnione.) x=kπ lub tg(x)=−1 dokończ i zastanów się dlaczego podzieliłam przez cos(x) w tym równaniu.

płaz: sin2x − 1*cos2x = −1, 1 = tg45^o sin2x − tg45^o*cos2x= −1

	sin45o		√2
sin2x −		*cos2x = −1 /*cos45o, cos45o =
	cos45o		2

	√2
sin2x*cos45o − sin45o*cos2x = −
	2

sin(2x − 45^o) = sin(−45^o) 2x − 45^o = −45^o + k*360^o lub 2x − 45^o = 180^o + 45^o + k*360^o trzeba dokończyć

płaz: albo układ równań: cos2x − sin2x = 1 i cos²2x + sin²2x = 1

Eta: Inny sposób 1−cos(2x)= 1−(cos²x−sin²x)=1−(1−sin²x−sin²x)=2sin²x 2sin²x+sin2x=0 2sin²x+2sinx*cosx=0 sinx(sinx+cosx)=0 ...... i dalej jak rozwiązała Mila i Godzio

Eta: zad1/Wykaż,że tg²36^o*tg²72^o=5

gad: nie ogarne tego nie ma nawet szans jutro na swiezo jak sie obudze to sprobuje to zrozumiec narazie nie kumam

Eta: Nikt nie wykazał ?

pigor: ..., wykaż, że tg²36^o* tg²72^o= 5 ; no to np. tak: bo nic prostszego ... nie wymyśliłem, niestety −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− L= tg²36^o* tg²72^o= tg²(2*18^o)* ctg²18^o=

	4tg218o		1		4
=		*		=		=(*)
	(1−tg218o)2		tg218o		(1−tg218o)2

	cos218o−sin218o		1−2sin218o
gdzie 1−tg218o=		=		=
	cos218o		1−sin218o

	8−16sin218o
=		= gdziesin18o=14(√5−1)(wyprowadzenie tego
	8−8sin218o

to osobne zadanie np. rozwiązując równanie sin36^o=cos54^o), więc sin²18^o=(¹₄(√5−1))²=¹₁₆(6−2√5) = ¹₈(3−√5), wtedy

	8−2(3−√5)		2+2√5
dalej =		=		=
	8−3+√5		5+√5

	(2+2√5)(5−√5)		10+8√5−10		2√5		2
=		=		=		=		, stąd
	25−5		20		5		√5

	4
dalej od miejsca (*) =		=5=P. c.n.w.
	45

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− p.s. mam nadzieję, że η pokaże nam na to jakiś sprytny sposób rozwiązując np. układ ...

Kacper: Skomplikowane dość Widziałem kiedyś prostszy dowód, ale nie pamiętam Powinno dać się też policzyć te wartości przy pomocy trójkąta 72,72,36

pigor: .... z tym Δ myślę, że dobra droga, ale może zacznę coś takiego : ponieważ −−−−−−−−− sin36²= sin144^o ⇒ sin36= 2sin72^ocos72^o /*sin72^o ⇒ ⇒ sin36^osin72^o= 2*2sin36^ocos36^osin72^ocos72^o /: cos36^ocos72^o ⇒ ⇒ tg36^otg72^o= 4sin36^osin72^o= 8sin²36cos36^o= 8cos36^o√1−cos²36^o i teraz może ten cos36^o z tego Δ (72^o,36^o,72^o) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− niestety teraz znikam i jak wrócę zapewne dowiem się co z tym ..

Mila: Wykaż,że tg²(36^o)*tg²(72^o)=5 Łatwo można wykazać, że :

	1
cos(36o)*cos(72o)=		jest kilka dowodów na forum
	4

	1
cos(36o)*(2cos2(36o)−1)=
	4

cos(36^o)=t, 0<t<1

	1
t*(2t2−1)−		=0
	4

	1
2t3−t−		=0 /*4
	4

8t³−4t−1=0

	−1
W(		)=0
	2

	1
8 0 −4 −1 t=−		nie odpowiada warunkom zadania
	2

8 −4 −2 0

	1
8t3−4t−1=(x+		)*(8t2−4t−2)
	2

(8t²−4t−2)=0 Δ=16+4*8*2=16+64=80 √80=4√5

	4−4√5		4+4√5
t=		<0 nie odp. w. z. lub t=
	16		16

	1+√5
t=		⇔
	4

	1+√5
cos(36o)=
	4

Z jedynki tryg.

	1+√5
sin2(36o)=1−(		)2
	4

	5−√5
sin2(36o)=
	8

Wracamy do początku:

	sin(36o)*sin(72o)
tg2(36o)*tg2(72o)=[tg(36o)*tg(72o)]2=[		]2=
	cos(36o)*cos(72o)

	2sin2(36o)*cos(36o)
=[		]2=
	1   4

	5−√5		1+√5		4√5
=[8*		*		]2=(		)2=5
	8		4		4

beza: 252601

Eta: No ładnie, ładnie μ.. i π.. Inny sposób

	α		α
1−cosα=2sin2		i 1+cosα=2cos2		( znane wzory połówkowe..)
	2		2

	α		1−cosα
to tg2		=
	2		1+cosα

	1−cos72o
tg236o=
	1+cos72o

	1−cos144o		1+cos36o
tg272o=		=
	1+cos144o		1−cos36o

przekształcam równoważnie

1−cos72o		1+cos36o
	*		=5
1+cos72o		1−cos36o

(1−cos72^o)(1+cos36^o)=5(1+cos72^o)(1−cos36^o) po wymnożeniu i redukcji otrzymuję 4cos36^o*cos72^o+6(cos36^o−cos72^o)=4 gdzie cos36^o−cos72^o =2sin54^o*sin18^o=2cos36^o*cos72^o otrzymuję:

	sin36o
16cos36o*cos72o=4 |*
	4

2*2sin36^o*cos36^o*cos72^o=sin36^o sin144^o= sin36^o sin36^o=sin36^o L=P zatem wyjściowa równość zachodzi c.n.w Miłego wieczoru

Mila: Miłego wieczoru

pigor: ..., no to miłej ... gorącej nocy . ..

pigor: .., no to jeszcze raz ja, bo ... obudziłem się z takim pomysłem, a więc niech

	2sin36ocos36o*cos72o
x*y=cos36o*cos72o=		=
	2sin36o

	2sin72ocos72o		sin144o		sin36o
=		=		=		=14 ,
	4sin36o		4sin36o		4sin36o

a różnica tych cosinusów x−y= cos36^o−cos72^o= 2sin54^osin18^o=2cos36^ocos72^o=2*¹₄= ¹₂ i teraz z układu równań xy= ¹₄ i x−y= ¹₂ i (x+y)²−4xy= ¹₄ ⇒ ⇒ x−y=¹₂ i x+y=¹₂√5 /± stronami ⇔ ⇔ 2x= ¹₂{√5+1} i 2y= ¹₂(√5−1} ⇒ ⇒ cos36^o= ¹₄(√5+1) i cos72^o= ¹₄(√5−1) ⇒ ⇒ (*) cos²36^o= ¹₈(3+√5) i cos²72^o= ¹₈(3−√5) ⇒ ... ⇒ ... sin²36^o = ¹₈(5−√5) i sin²72^o = ¹₈(5+√5) , stąd i z (*)

	5−√5		5+√5		25−5
tg236o* tg272o=		*		=		= 5 c.n.w.
	3+√5		3−√5		9−5

Kacper: Późno wstajesz

pigor: ..., 07:35 to nie tak późno; pozdrawiam. ...