macierz Paulina: Jak policzyć wyznacznik macierzy (stosując rozwinięcie Laplac'a ) ? |3 3 4 −5 | |5 −7 8 2 | |4 5 −7 −3| |7 8 2 4|

Paulina: ?

Metis: http://home.agh.edu.pl/~gajda/IILO/wyk2_5/laplace.pdf

Paulina: jak byś zauważył to w linku masz prosty przykład... gdzie jest 1 wtedy łatwo wyzerować kolumnę czy wiersz tutaj jej nie ma więc może zapoznaj się z teorią której nie znasz a potem podsyłaj mi link...

Kacper: Dlaczego jesteś taka niemiła? Równie dobrze to samo mogę powiedzieć o tobie, poczytaj teorię, a będziesz wszystko wiedzieć Nikt nie karze ci w rozwinięciu Laplace'a zerować kolumny lub wiersza. Jak koniecznie chcesz uzyskać zera to można mnożyć wiersze i kolumny przez stałe (tylko wyznacznik się zmienia wtedy)

Paulina: Jak bym nie znała teorii to bym nie wstawiała tego zadania.. Dwa w linku jest banalny przykład który nijak ma się do mojego zapytania. Trzy muszę zrobić to za pomocą rozwinięcia Laplace'a a nie eliminacją Gaussa..

Kacper: To wybierasz wiersz lub kolumnę i rozwijasz Np względem pierwszej kolumny: detA=(−1)¹⁺¹*3*detA₁₁+(−1)²⁺¹*5*detA₂₁+ +(−1)³⁺¹*4*detA₃₁+(−1)⁴⁺¹*7*detA₄₁

Paulina: Tego nie znałam. Widziałem że mnoży się kolumny albo wiersze przez jakąś liczbę i wtedy ładnie się zeruję, najlepiej jak jest jedynka

Godzio: Dlatego trzeba sobie upraszczać. Zacznę, Ty dokończysz... 3 3 4 −5 w₁ 5 −7 8 2 w₂ 4 5 −7 −3 w₃ 7 8 2 4 w₄ w₄ − 2w₁ w₃ − w₁ 3 3 4 −5 5 −7 8 2 1 2 −11 2 1 2 −6 14 w₁ − 3w₄ w₂ − 5w₄ w₃ − w₂ 0 −3 22 47 0 −17 38 −68 0 0 −5 −12 1 2 −6 14 Wyznacznik tej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy: −3 22 47 −17 38 −68 0 −5 −12 Teraz proponuję: w₂ − 6w₁ i później w₁ − w₂ i znów Laplacem, wyznacznik macierzy 2x2 już wiadomo jak liczyć

Kacper: Można i tak Trzeba policzyć kilka przykładów, żeby wprawy nabrać

Gustlik: Godzio, jak już masz wyznacznik 3 stopnia, to łatwiej Sarrusem niż Laplace'm.

Godzio: Nie zawsze, czasem jedno działanie znacznie upraszcza (w tym wypadu, przy dużych liczbach trudność będzie podobna )

Paulina: Dzięki, nie wiedziałam, że takie triki są

Paulina: możecie podać jeszcze jakiś przykład macierzy ?

Kacper: np taki: 1 2 2 3 1 0 −2 0 3 −1 1 −2 4 −3 0 2 i druga: 4 5 1 2 1 −7 5 −3 −4 9 2 1 3 2 5 7 Wymyślić można bardzo łatwo i jeszcze jeden 2 3 5 7 −1 3 4 2 −8 −9 −15 −21 4 7 11 9

Paulina: Te są proste bo są 1 chodzi o takie gdzie nie od razu widać rozwiązanie

Godzio: To daj sobie zamiast 1 dowolne liczby

Paulina: 3 4 5 6 w₁ 2 2 2 2 w₂ 9 9 8 7 w₃ 2 3 4 7 w₄ w₁−w₂ w₂*(−1)+w₄ w₁*(−3)+w₃ Mogę tak ?

Paulina: ?

Paulina: Godzio coś źle podałeś bo te wyznaczniki nie są równe http://calcoolator.pl/kalkulator_macierzy.html pierwszej det A=6095 det B =1895

Paulina: ?

Paulina: No one?

Mila: Metodą Godzia masz wynik 6095 czy za pomoca kalkulatora?

Paulina: Za pomocą kalkulatora

Mila: Z czym masz problem, co Ci nie wychodzi w wyznaczniku macierzy z 18:46?

Paulina: Godzio napisał, że to taki sam wyznacznik a tutaj inne wyznaczniki wgl wychodzą. Nie wiem jak za pomocą rozwinięcia LaPlace'a policzyć ten wyznacznik macierzy. Wiem, że muszę wyzerować kolumnę albo wiersz i potem z reguły Sarrusa policzyć wyznacznik macierzy 3x3. Ale problem jest taki, że w macierzy nie ma żadnej 1, żeby to ładnie się wszystko redukowało.

Godzio: Może się walnąłem w dodawaniu, człowiek nie jest istotą doskonałą i mylić się też może, ja tylko zademonstrowałem metodę

Godzio: Już widzę 1 błąd, nie dałem minusa, powinno być w pierwszym wierszu − 47, a druga rzecz, przy rozwinięciu (wtedy o tym pamiętałem, ale nie napisałem tego) trzeba dać minus przed całym wyznacznikiem, bo pozycja 1 jest nieparzysta (4 wiersz + 1 kolumna = 5)

Godzio: |−3 22 −47 | − |−17 38 −68| |0 −5 −12 | Ten wyznacznik powinniśmy otrzymać (już po wszystkich operacjach)

Paulina: a post 13:43 ?

Paulina: Teraz jest ok.

Godzio: Teoretycznie możesz, ale pokaż co Ci z tego wyjdzie, bo wykonując pewne operacje nie możesz korzystać ze starych i nowych wierszy jednocześnie (a właściwie możesz, ale trzeb to umiejętnie zrobić )

Mila: Macierz Godzia ma jedną pomyłkę ma być (−47) i wychodzi ładnie . Łatwo sie w tym pomylić. Możesz zrobić inaczej , wydaje mi się łatwiej. 3 3 4 −5 5 −7 8 2 4 5 −7 −3 7 8 2 4 Od pierwszej kolumny odejmuję drugą. 0 3 4 −5 12 −7 8 2 −1 5 −7 −3 −1 8 2 4 od czwartego wiersza odejmuję trzeci wiersz 0 3 4 −5 12 −7 8 2 −1 5 −7 −3 0 3 9 7 od czartego wiersza odejmuję pierwszy wiersz 0 3 4 −5 12 −7 8 2 −1 5 −7 −3 0 0 5 12 Już liczę wyznacznik (−1)⁴⁺¹*0*[...] + (−1)⁴⁺²*0*[...]+ tu wyjdą zera (−1)⁴⁺³*5*[ 0 3 −5 12 −7 2 −1 −5 −3 ] licz metodą Sarrusa +(−1)⁴⁺⁴*12* [0 4 4 12 −7 8 −1 5 −7] licz metodą Sarrusa Chyba się nie pomyliłam w przepisywaniu z kartki. det(A)=6095

Paulina: ale chyba coś nie tak ? Skoro zerujesz wiersz to działasz na kolumnach a skoro kolumnę to działasz na wierszach Godzio to jak można ?

Godzio: Zależy co chcesz zerować, można i tak i tak.

Paulina: jeżeli chcę zerować wiersz to nie mogę dodawać wierszy do siebie tylko muszę dodawać/odejomować kolumny. ?

Godzio: Pewnie przez operacje na wierszach też coś by się dało, ale ciężko

Paulina: Chciałam się tego naumieć przed październikiem ale słabo mi to idzie. w średniej matma to była bajka w porównaniu do tych całek i różniczek o wgl

Mila: To może lepiej nie mieszać, ale obliczyłaś to co Godzio podał na końcu?

Paulina: To obliczyłam.

Mila: Wg mojego algorytmu też? Jutro popatrzę do teorii, bo to mi już zardzewiało. Godzio jest na bieżąco. To potwiedzę albo odwołam.

Mila: To jest dobrze. Tu możesz sprawdzić wyznaczniki wszystkich pośrednich moich macierzy. http://quickmath.com/webMathematica3/quickmath/matrices/determinant/basic.jsp

Mila: Nie musisz przecież przekształcać macierzy, jeśli to Ci sprawia trudność , rozwijaj wg najprostszego wg Ciebie wiersza (kolumny) i wyznacznik macierzy 3x3 umiesz przeciez liczyć.Będziesz miała więcej liczenia ale cel osiągniesz.

Kacper: Po południu będę miał trochę czasu to wrzucę kilka przykładów jeszcze

Paulina: Dziękuję. Mila ale chodzi o to, że w poleceniu mam korzystać z rozwinięcia LaPlace'a inaczej wgl bym liczyła Gaussem ale nie można.

Mila: To nie wiem z czym masz problem, czy w obliczaniu wyznacznika metodą L. czy doprowadzeniem macierzy do dogodnej postaci?

Paulina: w doprowadzeniu macierzy do postaci 3x3

Mila: W wyzerowaniu w macierzy 4X4 trzech wyrazów kolumny albo 3 wyrazów wiersza? To podaj zadanie, będziemy ćwiczyc.

Paulina: Tak, dokładnie tak: korzystając z rozwinięcia Laplace'a znajdź wyznacznik macierzy a) 9 3 2 2 7 3 2 0 2 2 3 9 7 5 7 7

Mila: 1)od drugiego wiersza odejmij pierwszy

Paulina: 9 3 2 2 −2 0 0 −2 2 2 3 9 7 5 7 7 ?

Mila: Na razie wyłączam komputer, bo jest burza, możesz już liczyć wyznacznik wg drugiego wiersza.

Paulina: Nie bardzo wiem jak... Będę czekać.

J: 3 2 2 9 3 2 det (A) = −2*(−1)³ 2 3 9 + 0 + 0 − 2*(−1)⁶ 2 2 3 = ....... 5 7 7 7 5 7

Mila: Masz podpowiedź od J, to licz,ma być wynik (−140).

Paulina: ale nie rozumiem tego zapisu.. Chodzi o to jak krok po kroku zerować wiersze i kolumny żeby otrzymać macierz 3x3.

Kacper: Chyba wiem czego nie rozumiesz Wiesz skąd się wzięły poszczególne macierze 3x3?

Paulina: właśnie nie.

J: 3 2 2 Skreślasz 1 kolumne i drugi wiersz: dostajesz: 2 3 9 5 7 7 9 3 2 Skreslasz 4 kolumne i drugi wiersz: dostajesz: 2 2 3 7 5 7 ................ i wynik taki ,jak podaje Mila ... − 140

Kacper: Dobra to zrobię ci ładny rysunek Patrzymy na drugi wiersz i będziemy stosować rozwinięcie Laplace'a właśnie względem niego Wzór jest taki detA=∑(−1)^i+ja_ij*detA^*_ij Ostatnią macierz różnie się oznacza Zaczynamy od liczby −2, i nasz wzór ma postać: (−1)²⁺¹*(−2)*detA^*₂₁ teraz wytłumaczenie jak powstaje macierz A*₂₁ (patrz rysunek wyżej ) Powstaje ona przez skreślenie wiersza i kolumny w której stoi dany wyraz macierzy. Mam nadzieję, że teraz wiadomo o co chodzi

Paulina: ale żeby skreślić wiersz to nie muszą być tam 3 zera i element niezerowy ?

J: Krótko mówiąc , po skreśleniu danego wiersza i kolumny przepisujesz to, co pozostało, tak jak narysował Kacper .

J: Nie ... dlatego też masz we wzorze,który Ci napisałem 0 + 0 ( bo te iloczyny się wyzerują )

J: Dletego Mila zasugerowała Ci liczyć wg drugiego wiersza bo tam są az dwa zera.

Mila: Ponieważ nie nasuwa mi się szybko sposób wyzerowania trzeciego wyrazu w 2 wierszu to już rozwijam wg drugiego wiersza. Po kolei : (−1)²⁺¹ bo (−2) jest w drugim wierszu i pierwszej kolumnie. Wykreślam drugi wiersz i pierwszą kolumnę zostaje macierz 3X3 (−1)²⁺¹*(−2) *| 3 2 2| | 2 3 9| | 5 7 7| +(−1)²⁺²*0 * [...] +(−1)²⁺³*0*[...]+ +(−1)²⁺⁴*(−2)*[ 9 3 2] [2 2 3] [7 5 7] Teraz dokończysz?

J: 3 0 0 0 8 9 7 gdybyś miała np : 5 8 9 7 , to : det(A) = 3*(−1)²* 8 2 6 + 0 + 0 + 0 4 8 2 6 5 5 5 7 5 5 5

Paulina: Dziękuję. teraz już nie mam problemu z macierzą 3x3. Najgorsze jest dla mnie właśnie to przejście na macierz 3x3 a dalej to już pikuś

Mila: Daj następną macierz i załącz obliczenia.

Paulina: b) 9 9 −2 −4 2 3 9 0 0 −5 −5 −5 2 2 −2 3 1) w₄*(1) 2) w₁+w₄

asdf: pamietam te liczenie wyznacznikow macierzy...bylo to takie...nudne dobrze, ze nie musze juz do tego wracac Wedlug mnie lepiej sie wziac za granice, pochodne i jak sie zdarzy − calki.

Mila: 9 9 −2 −4 2 3 9 0 0 −5 −5 −5 2 2 −2 3 k1−k2 0 9 −2 −4 −1 3 9 0 5 −5 −5 −5 0 2 −2 3 k2+k3 0 7 −2 −4 −1 12 9 0 5 −10 −5 −5 0 0 −2 3 Teraz rozwiń na dwa sposoby

Mila: Masz rację asdf, nudne, ale cóż robić, trzeba się nauczyć.

Paulina: Teraz mając tą ostatnią macierz skreślam pierwszą kolumnę i 4 wiersz tak ?

Kacper: Zależy względem którego wiersza rozwijasz lub kolumny

Paulina: O Boże... nie wiem.. po prostu chcę wykreślić jedną kolumnę i jeden wiersz. 7 −2 −4 12 9 0 −10 −5 −5 detA=....

Mila: Albo tak: 9 9 −2 −4 2 3 9 0 0 −5 −5 −5 2 2 −2 3 k2−k3 9 11 −2 −4 2 −6 9 0 0 0 −5 −5 2 4 −2 3 k3−k4 9 11 2 −4 2 −6 9 0 0 0 0 −5 2 4 −5 3

Paulina: to wtedy już nie będzie problemu bo mam −5*(−1)⁴⁺³=−5*|9 11 2 | |2 −6 9 | |2 4 −5|

Mila: Napisz sobie na kartce: Wg 4 wiersza 20:25 1) 4 wiersz i 3 kolumna + 2) 4 wiersz , 4 kolumna Teraz tu napisz

Mila: 20:53 dobrze, podaj wynik. I poprzednią wersję musisz tez umieć, to wreszcie zrozumiesz.

Paulina: detA=−1470

Paulina: Dziękuję jutro wrócę do tego bo dziś teraz burza u mnie. Ogólnie to będę dwa kierunki studiować

Mila: (−1)*(−5)=5 W=1470

PW: Tak sobie od 2 dni czytam ten wątek i jako stary złośliwy dziad muszę skomentować. Paulino, polecenie "policz wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace'a" należy wykonać dosłownie − rozwijać względem wiersza (lub kolumny) i robić tak dotąd, aż występujące w rozwinięciu wyznaczniki dadzą się policzyć wprost z definicji. Metis miał rację. Korzystanie z jakiegoś "zerowania" wierszy czy kolumn to zupełnie inna bajka (inne twierdzenie, którego nie nazywa się rozwinięciem Laplace'a). To co chciałaś, i co wymusiłaś na kolegach podpowiadających, może być stosowane, gdy polecenie brzmi "oblicz wyznacznik" − wtedy wszystkie chwyty dozwolone. Twoje komentarze z 1 sierpnia o 20:22 i 20:37 świadczą właśnie o niezrozumieniu teorii. Nie przyswoiłaś dokładnie treści twierdzeń, lecz dążysz do tego "jak to się robi".

mietek: Rozwinięcie Laplace'a nie polega na zerowaniu wierszy i kolumn macierzy. Kiedy wy to wreszcie zrozumiecie?

Mila: Czy Ty rozumiesz, że w pierwszej linijce jest pytanie "jak policzyć wyznacznik macierzy 4x4"?. Może nie umiem tyle z matematyki co Ty mietku, ale nie wyzłośliwiam się w stosunku do innych forumowiczów, a błędy swoje poprawiam, jeśli zauważę.

asdf: mietek, chcesz sie czepiac to nie to miejsce. Tutaj kazdy sie uczy od kazdego, a nie sie go czepia o glupie slowka. Z tego co jest napisane na wikipedii: wzór rekurencyjny określający wyznacznik n−tego stopnia macierzy kwadratowej o wymiarach n x n. A jak wygladaja obliczenia − pewnie wiesz...wiec sie nie czepiaj i nara.

Mila:

Paulina: Mietek to typowy troll który nic nie potrafi a czepia się wszystkiego... Wystarczy kliknąć w jego nick i zobaczyć, że nie rozwiązał żadnego zadania.. To po prostu jakieś dziecko które musi się dowartościować...

Paulina: @PW w takim razie jak nazywa się ''proces'' zerowania całej kolumny lub wiersza ?

Mila: Przed zastosowaniem rozwinięcia Laplace'a do obliczenia wartości wyznacznika przekształcamy macierz , aby ułatwić sobie obliczenia. To nie jest konieczne. Tak przekształcamy aby nie zmienić wartości wyznacznika i wyzerować część wiersza albo kolumny, nie możesz wyzerować całej kolumny, poczytaj o własnościach wyznaczników. http://www.youtube.com/watch?v=LUnQDKxse4E

PW: Nie ma czegoś takiego − procesu, który prowadzi do zerowania całej kolumny lub wiersza. Może to się udać w szczególnym wypadku − gdy kolumny (wiersze) macierzy tworzą układ liniowo zależny, wtedy wyznacznik ma wartość zero. To co się dla wygody robi, czyli dodawanie do kolumny macierzy innej kolumny pomnożonej przez dowolną liczbę (co nie zmienia wartości wyznacznika) chyba nie ma specjalnej nazwy, bywa określane jako wykonywanie elementarnych operacji na kolumnach wyznacznika.

Paulina: Dziękuję. Poczytam o tym. @PW nie chodziło mi o zerowanie całej kolumny lub wiersza tylko o zostawienie jednego elementu niezerowego w kolumnie lub wierszu.

Mila: Widzę, że zniechęciłaś się, albo już opanowałaś problem.

Paulina: Witaj Mila.. Bardziej to drugie.Muszę zająć się dzieckiem siostry i nie mam za bardzo czasu żeby robić zadania. Ale już niedługo wrócę do tego Pozdrawiam

Mila:

Paulina: Chcę wrócić do tego co napisał Godzio : Teoretycznie możesz, ale pokaż co Ci z tego wyjdzie, bo wykonując pewne operacje nie możesz korzystać ze starych i nowych wierszy jednocześnie (a właściwie możesz, ale trzeb to umiejętnie zrobić o co mu dokładnie chodziło ?

Mila: Poczytaj tam, Godzio tam objaśnia operacje na macierzy. Jeśli poczytałaś o wyznacznikach, to zrozumiesz. https://matematykaszkolna.pl/forum/255880.html