logarytmy tyu: mam taką nierówność log_3x+4x²<1 założenia: 3x+4≠1 ⇒ x ≠ −1

	4
3x+4>0 x>−
	3

x²>0 x>0 zamieniam jedynkę na logarytm i mam log_3x+4x²<log_3x+43x+4 ale jeśli będę opuszczał znak logarytmu to skąd mam wiedzieć czy mam zmienić znak nierówności tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/32924.html jest rozwiązanie z dwoma przypadkami, ale nie wiem o co chodzi z tymi dwoma przypadkami. Domyślam się, że jeden oznacza, ze f. jest malejąca a któryś inny, że jest rosnąca. Ale mógłby mi ktoś to wytłumaczyć który jest który Rozwiązanie zamieściła Anna w poście o 23:10 w dniu 06 stycznia i uzupełniła je Eta

sushi_ gg6397228: 1 przypadek a ∊ (0;1) 2 przypadek a>1 i to cała filozofia

tyu: to chyba na odwrót

tyu: Przyp. 2) 0 < 3x + 4 < 1 czyli a=3x + 4 i a∊(0;1)

john2: Jeśli podstawa jest między 0 a 1 to zmieniasz znak nierówności, więc badasz kiedy podstawa jest między 0 a 1 (dla jakich x), zmieniasz znak nierówności i robisz część wspólną rozwiązania z tymi x, dla których podstawa jest między 0 a 1. Drugi przypadek. Badasz kiedy podstawa jest większa od 1. Nie zmieniasz znaku. Robisz część wspólną z tymi iksami, dla których podstawa jest > 1

sushi_ gg6397228: napisałem, jakie masz rozpatrzeć przypadki; nie patrzyłem co jest w linku

Mila: Jeżeli podstawa logarytmu (3x+4)∊(0,1) to funkcja log_3x+4(..) jest malejąca i zmieniasz kierunek nierówności opuszczając log Jeżeli podstawa logarytmu (3x+4)>1 to funkcja rosnąca i nie zmieniasz kierunku nierówności Daję proste przykłady 1) log_0.5(2x²+5)<log_0.5(x+2)⇔ 2x²+5>x+2 2) log₃(2x²+5)<log₃(x+2)⇔ 2x²+5<x+2

tyu: @ sushi gg6397228 myślałem, że patrzyłeś, dlatego Cię poprawiłem. Dzięki Wam obu za pomoc.

tyu: dziękuję Mila

tyu: Mila wiem, kiedy się zmienia znak nierówności w f. logarytmicznej. Tylko że w tym przykładzie, który podałem, podstawa logarytmu jest określona wzorem funkcji 3x + 4 i stąd moje pytanie

Mila: Właśnie dlatego rozważane są dwa przypadki dla podstawy logarytmu i rozwiązujesz nierówność w dwóch dziedzinach.

tyu: czyli np 3x + 4 > 1 ⇒ x > −1 oznacza, że dla x>−1 f.logarytm jest rosnąca i przy opuszczaniu logarytmu nie zmieniam znaku Tak sobie analizuję ten przykład i się zastanawiałem o co chodzi z tym x>−1, ale już chyba wiem

Mila: Dla x>−1 rozwiązujesz nierówność: x²<3x+4⇔ x²−3x−4<0 i x>−1

tyu: Eta napisała odnosząc się do założeń, że liczba logarytmowana x² >0 i dla x≠0 o co chodzi z tym x≠0 Wiem, że f logarytmiczna istnieje dla dodatnich liczb rzeczywistych, to nie wystarczy założenie x² >0

john2: Chyba chodzi o to, że z x² > 0 wynika, że x ≠ 0. x² > 0 to jest prawdą zawsze, chyba, że x będzie zerem Co do wcześniejszej kwestii. Teraz się zastanawiam, bo to chyba nie jest takie proste, że log_3x+4x² jest funkcją rosnącą dla x > −1 zobacz na ten wykres http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+real+log[%283x%2B4%29%2Cx^2] Sam chciałbym wiedzieć, o co w tym chodzi. Wiemy, że log_ax jest funkcją logarytmiczną. Ale czy postać, gdzie w podstawie też jest x, dalej jest funkcją logarytmiczną?

pigor: ..., z definicji logarytmu : log_3x+4x²< 1 i 3x+4≠1 i 3x+4>0 i x≠0 ⇔ ⇔ (2log_3x+4|x|<1 i 0< 3x+4<1 i x≠0) v (2log_3x+4|x|<1 i 3x+4>1 i x≠0) ⇔ (log_3x+4|x|<¹₂ i 0<3x+4<1 i x≠0) v (log_3x+4|x|<¹₂ i 3x+4>1 i x≠0) ⇔ ⇔ (|x|> √3x+4 i −4<3x<−3 i x≠0) v (|x|<√3x+4 i 3x>−3 i x≠0) ⇔ ⇔ (x²> 3x+4 i −1¹₃<x<−1) v (x²<3x+4 i x>−1 i x≠0) ⇔ ⇔ (x²−3x−4>0 i −1¹₃<x<−1) v (x²−3x−4<0 i x>−1 i x≠0) ⇔ ⇔ [(x+1)(x−4)>0 i −1¹₃<x<−1] v [(x+1)(x−4)< 0 i x>−1 i x≠0] ⇔ ⇔ [(x<−1 v x>4) i −1¹₃<x<−1] v (−1<x<4 i x≠0) ⇔ ⇔ −1¹₃<x<−1 v −1<x<0 v 0<x<4 ⇔ x∊(−1¹₃;−1) U (−1;0) U (0;4) . ...

Mila: John f(x)=log₂(x ) jest funkcja rosnącą, z tego korzystamy f(x)=log_0.5(x) jest funkcja malejącą

john2: To rozumiem, ale czy prawdą jest, że funkcja log_3x+4x² jest rosnąca dla 3x+4 > 1 i malejąca dla 0 > 3x + 4 > 1 ?

tyu: już rozumiem teraz dlaczego Eta napisała to założenie x≠0, bo 0² = 0 a nie 0>0 Dzięki piogor za pokazanie innego sposobu

Mila: John

	4
Załóżmy, że x∊(−		,−1) czyli podstawa (3x+4)∊(0,1)
	3

log_3x+4 (x²)<log_3x+4(3x+4) Zasada obowiązuje ,(argument 1)>(argument 2) a ponieważ x² nie układa się rosnąco to masz wykres jak widzisz w wolframie.

john2: Aha. Dzięki.