logarytmy john2: Proszę o pomoc ze wzorem log_ax^k = klog_ax (Proszę nie rozwiązywać zadań, tylko odpowiedzieć na pytanie) Są sobie dwa zadania: Zadanie 1) log(x−5)² + log(x+6)² = 2 Dziedzina = X∊R\ {5,−6} Chciałem to zrobić w ten sposób: 2log(x−5) + 2log(x+6) = 2 dodaję nowy warunek x>5 i x>−6, więc x >5 log(x−5) + log(x+6) = 1 log(x−5)(x+6) = 1 10¹ = (x−5)(x+6) Nie robię dalej, bo mają wyjść 4 odpowiedzi. Więc muszę to zrobić tak: log(x−5)² + log(x−6)² = 2 log(x−5)²(x−6)² = 2 (x−5)²(x−6)² = 10² I wyjdą cztery. OK niech tak będzie, ale teraz: Zadanie 2) 2log₃(x−2) + log₃(x−4)² = 0 Dziedzina: x − 2 > 0 i (x−4)² > 0 więc x ∊(2,4)∪(4,+∞) ICSP zrobił to zadanie tutaj https://matematykaszkolna.pl/forum/50529.html w ten sposób: 2log₃(x−2) + 2log₃(x−4) = 0 Postawił warunek x − 4 > 0, czyli x >4 i wyszło mu poprawne rozwiązanie. Pytanie: Czemu w drugim zadaniu zabieg przerzucenia tej dwójki z wykładnika liczby logarytmowanej przed logarytm zadziałał a w pierwszym już nie?

J: A jakie masz te odpowiedzi ?

ICSP: Dziedzina. W pierwszym przypadku wyrzucając kwadraty przed logarytm zawęziłeś dziedzinę równania przez co mogłeś stracić pewne rozwiązania.

john2: Zadanie 1) http://www.wolframalpha.com/input/?i=log[10%2C+%28x-5%29^2]+%2B+log[10%2C%28x%2B6%29^2]+%3D+2 Zadanie 2) http://www.wolframalpha.com/input/?i=2log[3%2C%28x-2%29]+%2B+log[3%2C%28x-4%29^2]+%3D+0 Hmm, teraz się zorientowałem, że w drugim odpowiedzią jest też liczba 3

john2: A w drugim przypadku nie zawężam?

ICSP: zawężasz Wychodzi na to, że wtedy się pomyliłem.

J: Zwróć uwagę na nawiasy w zadaniu pierwszym w wolframie ....tam się dwójki nie wyciąga przed logarytm

ICSP: 2log₃ (x−2) + log₃ (x−4)² = 0 gdy x ∊ (2 ; + ∞) \{ 4} log₃ [(x−2)(x−4)]² = 0 [(x−2)(x−4)]² = 1 (x² − 6x + 8 − 1)(x² − 6x + 8 + 1) = 0 (x² − 6x + 7)(x² − 6x + 9) = 0 x = 3 + √2 v x = 3

john2: Aha, czyli dobrze wnioskuję, mówiąc że na przykład: 2log₃(x−2) można zamienić na log₃(x−2)² (pamietając o dziedzinie) Natomiast, gdybyśmy zaczynali od log₃(x−2)², to nie można tego zamienić nigdy na 2log₃(x−2)

ICSP: można zamieniać, ale w drugim przypadku możesz stracić pewne rozwiązania.

john2: Rozumiem i dziękuję.

razor: log_ab^2k = 2k*log_a|b| log_ab^2k+1 = (2k+1)*log_ab

john2: Dzięki.