Granica ciągu Yuriko: Proszę znależć BŁĄD w wyznaczaniu granicy ciągu: / (2n)! \ 1/n / 1 x 2 x … x n x (n+1) x …x (2n) \ 1/n | _________ | = | _________________________ | = | | | | \ n ! nⁿ / \ 1 x 2 x …x n x nⁿ / / (n+1) (n+2) 2n \ 1/n = | _____ ____ ….. ____ | = | | \ n n n / = (1 + 1/n)^1/n x (1+2/n)^1/n x … x 2^1/n Każdy z czynników w ostatnim iloczynie dąży do 1, przeto granicą ciągu jest 1 …

wredulus_pospolitus: '+' za naprawcowanie się w pisaniu tego ... ale prościej było poczytać jakie sa funkcje u nas na forum: https://matematykaszkolna.pl/forum/przyklady9.html A co do błędu to: "Każdy z czynników w ostatnim iloczynie dąży do 1, przeto granicą ciągu jest 1 …" <−−− b−z−duuuuuuura masz 1^∞ <−−− symbol nieoznaczony

J: Widzę to tak, ale mogę sie mylić ...: lim (1+¹_n)^1_n = lim [(1+¹_n)ⁿ]ⁿ⁻² = lim eⁿ⁻² = e Zatem szukana granica ... lim = e*e*e .... *2ⁿ⁻² = eⁿ

J: Już widzę bład ... wycofuję post

J: Moim zdaniem ta granica jednak wynosi 1.

ICSP:

4
e

Yuriko: @ wredulus pospolitus: Dlaczego "bzdura" ? Funkcja x → ( 1 + a/x )^1/x ma asymptotę poziomą równą 1. A granica iloczynu ciągów, z których każdy ma granicę skończoną jest równa iloczynowi granic... NB: Zastosowałem zapis taki, a nie inny, gdyż użycie komend do składu tekstu matematycznego na tej stronie dał wyjątkowo nieczytelny rezultat @ ICSP : zgadza się; tyle, że powinno to wynikać z rachunku...

ICSP: Niech a_n będzie ciagiem o wyrazach dodatnich wtedy prawdziwa jest implikacja

	an+1
lim		= q ⇒ lim n√an = q , q ∊ (0 ; + ∞)
	an

zombi: ICSP, ja mam takie pytanie czysto teoretyczne. Czy ty implikacja wynika m.in. z tego, że Cauchy > d'Alembert ?

ICSP: zombie chodzi Ci o to, ze kryterium Cauchego zbieżności szeregu jest "silniejsze" niż kryterium d'Alemberta ?

zombi: Tak.

ICSP: Można to tak interpretować

zombi: A jest gdzieś może dowód tej implikacji? Z definicji jakoś? Bo jestem ciekaw jak to pokazać.

ICSP: Właśnie nie posiadam. W internecie również nie mogłem go znaleźć

zombi: Podbijam może ktoś będzie miał dowód tej implikacji.

zawodus: Po 9 lipca poszukam w moich notatkach i książkach Ogólnie bardzo przydatna rzecz. Jak nie znajdę, to zapytam znajomego z innego forum i na pewno pomoże

zombi: Dzięki! Bo z tego jakby nie patrzeć często się korzysta, więc dowód byłby ok. Wiem tylko tylko, że to jest powiązane z kryt. Cauchy'ego i d'Alemberta.

Yuriko: Witam ponownie, Chyba nasza dyskusja zboczyła na zupełnie inny temat... Odpowiedzi na zadane pytanie się nie doczekałem... Może wrócilibyśmy do meritum? @zombi: Dowód cytowanego twierdzenia w necie można znaleźć, tyle,że nie po polsku...(matematykę wszak uprawia się na całym świecie i wobec powyższego korzystnie jest znać języki obce, i to niekoniecznie jedynie angielski, by mieć dostęp publikowanych rezultatów...) Rzeczony dowód można znależć tutaj ( nie zapominajmy, ze obaj panowie byli Francuzami...): http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/MC2/node32.html ( ostatnie twierdzenie na tej stronie.) Pozdrawiam, Yuriko

Godzio: Dwie wersje: https://matematykaszkolna.pl/forum/107225.html

ICSP: Yuriko podałem Ci twierdzenie które załatwia zadanie. Wystarczy za a_n przyjąć wszystko

	an+1
co znajduje się pod pierwiastkiem n−tego stopnia i policzyć granicę		.
	an

zombi: Dzięki Godzio !

Yuriko: Ok, dziękuję, zaraz wypróbuje; ale dalej chciałbym wiedzieć GDZIE TKWI błąd w zaproponowanym rozwiazaniu... Bo niewątpliwie jest błędne. Proszę o wskazanie z uzasadnieniem. Dziękuję z góry!

Godzio: W Twoim rozwiązaniu błąd tkwi w tym, że jeżeli każdy wyraz dąży do 1 to nie znaczy, że iloczyn też będzie dążył.

zombi: Nie wiem czy dobrze myślę, może ktoś poprawi: Mianownik ⁿ√nⁿ = n → ∞ Licznik Z tw. o dwóch ciągach lim ⁿ√nⁿ = ∞ oraz ⁿ√nⁿ ≤ ⁿ√(n+1) *. .. *(2n) zatem lim ⁿ√(n+1) *. .. *(2n) = ∞ Czyli mamy

∞
∞

Godzio:

	(2n)!
(		)1/n
	n! * nn

	n
Hmm, może wiemy, że		→ e (taka popularna granica) No to zróbmy pod nią nasz ciąg.
	n√n!

	2n|√(2n)!		n		1		1
(		)2 * 4n2 *		*		*		→
	2n		n√n!		n		n√nn

	1		4
→ (		)2 * 4 * e =
	e		e

zombi: Mi chodziło tylko o to, jak pokazać, że te iloczyny nie pykają

Yuriko: @zombi: wyrażenia nieoznaczone ∞/∞ często dają się przekształcić do innej postaci, pozwalającej na wyznaczenie granicy, np (2n+1)/(n+1) w zapisanej postaci też jest typu ∞/∞; a w innym zaś zapisie już nie. Myślę zatem,że to nie ten argument, choć przedstawione przesłanki są poprawne... @Godzio: Jak zatem należy interpretować tw. o działanich arytmetycznych na granicach ciągów zbieznych !?

Yuriko: @Godzio: ładne rozwiazanie, pod warunkiem znajomości tej granicy... Z twierdzenia podanego kilka postów wyżej tez się ładnie to liczy... Ale dalej NIKT mi nie wskazał dokładnie momentu, w którym popełniłem błąd...

ICSP: 1 *1 * ... * 1 = 1^∞ gdy n → ∞ a 1^∞ jest symbolem nieoznaczonym.

Godzio: No to inny przykład na to, że nie można tak tego interpretować: ⁿ√n → 1 tak? No to ⁿ√nⁿ → 1 bo ⁿ√n * ⁿ√n * ... * ⁿ√n → 1 * 1 * ... * 1 = 1 Masz granicę, 1 −− ok, ale masz tych jedynek nieskończenie wiele więc jest to 1^∞, a to już jest symbol nie oznaczony.

Yuriko: Dziękuję; Nie wiedziałem, że 1^∞ jest symbolem nieonaczonym. Pozdrawiam wszystkich uczestników dyskusji; <Yuriko>

Yuriko: PS. Zadanie pochodzi z egzaminu wstępnego na medycynę (sic!) w Japonii...