. Piotr 10: Uzasadnij, że jeżeli trzy liczby naturalne a, b ,c tworzą tzw. trójkę pitagorejską, to co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3. czyli a²+b²=c² a=(c−b)(c+b) Mozna prosic o pomoc?

zawodus: jakie reszty z dzielenia przez 3 dają kwadraty liczb naturalnych?

Piotr 10: Hmm jedyne co zapisalem to tak jesli ma byc jedna przynjamniej podzielna przez 3 to niech c=3k a=3p+1 ; b=3y+2 i potem cos kombinowalem ale nic, zapewne cos trzeba z reszta

Piotr 10: nie mam pojecia

bezendu: 0,1,2

zawodus: tak też można to badamy reszty: 1²=1 (mod3) 2²=1(mod3) 3²=1(mod3) 4²=1(mod3) Jakby chcieć formalnie, to n = 0 (mod3) lub n=1 (mod3) lub n=2 (mod3) n²=0 (mod3) lub n=1²=1 (mod3) lub n=2²=4=1 (mod3) zatem możliwe reszty to tylko 0 i 1 Teraz dalej

Piotr 10: zawodus a mozna moim sposbem jakos to dalej zrobic ?, zapisze co mam dalej

Piotr 10: (3p+1)² + (3y+2)² = (3k)² 9p²+6p+1 + 9y²+12y+4 = 9k² 3(3p²+2p+1+3y²+4y) + 1= 3*3k²

Piotr 10: tam zamiast 1 powinno byc 2

PW: Dwa dni temu było (starałem się rozwiązać metodą elementarną): 247447

Piotr 10: Wiem właśnie PW ale nie moglem znalezc Twojego sposobu. A mozna moim jakos to pociagnac dalej czy nie za bardzo ?

PW: Nie bardzo to widzę, bo już z góry założyłeś, że liczba po prawej stronie jest podzielna przez 3.

zawodus: Piotrek dałoby radę u ciebie, ale do liczenia jest wiele przypadków

Piotr 10: aha ok thx

zombi: Ew. kongruencjami, jakby ktoś chciał. Lemat: Kwadraty liczb całkowitych niepodzielnych przez 3, przy dzieleniu przez 3 dają resztę jeden. Dowód: Niech a≡1(mod 3) ⇔ a²≡1(mod 3) Niech a≡2(mod 3) ⇔ a²≡1(mod 3). Ok, przejdźmy pokazania tezy postawionej w zadaniu. Bez straty ogólności możemy powiedzieć, że zachodzi a² + b² = c² Nie wprost: Niech a,b,c≡1,2(mod 3) ⇔ a²,b²,c²≡1(mod 3) Wobec tego L=a²+b²≡2(mod 3) P=c²≡1(mod 3) Sprzeczność, ponieważ lewa strona równości daje przy dzieleniu przez 3 reszty 2, natomiast prawda strona resztę 1. Zatem, co najmniej jedna z liczb (a,b) musi ≡0(mod 3). A co za tym idzie, jedna z liczb (a,b,c) musi być podzielna przez 3.