? Damo93: Uzasadnij, że jeśli trzy liczby naturalne a,b i c spełniają warunek a² + b² = c² , to przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez 3. Nie lubię zadań z podzielnością, dlatego proszę o łopatologiczne wyjaśnienie jak się za to zabrać z góry dziękuję !

Paulina: n=3k+1 n=3k+2 sprawdź to i koniec zadania

le: Chciałeś łopatologicznie więc: zapisz wszystkie, a,b i c, jako niepodzielne przez 3 czyli np: a=3a+1 / 3a+2 , b=3b+1 / 3b+2 oraz c=3c+1 / 3c+2 i sprawdzamy którąś kombinacje: (3a+1)² +(3b+1)²=(3c+2)² przenosimy, którąś z tych dwóch liczb po lewej stronie na drugą i mamy: (3a+1)²=(3c+2)²−(3b+1)² i teraz ze wzorów skróconego mnożenia: 9a² +6a+1=(3c+2+3b+1)(3c+2−3b−1) 9a²+6a+1=(3c+3b+3)(3c−3b+1) 3(3a²+2a)+1=3(c+b+1)(3c−3b+1) i mamy sprzeczność bo prawa strona dzieli się przez 3 a lewa nie, po sprawdzeniu wszystkich kombinacji, zawsze jeden z nawiasów po prawej stronie będzie podzielny przez 3 więc liczba podniesiona do kwadratu po lewej stronie też musi. Teraz tak: po lewej mamy jakąś liczbe naturalną do kwadratu i wiemy, że ten kwadrat musi być podzielny przez 3, a jeśli kwadrat liczby naturalnej jest podzielny przez 3 to ona sama również jest podzielna przez 3, dowód: bierzemy jakąś liczbę naturalną niepodzielną przez 3 i podnosimy do kwadratu, który ma być podzielny przez 3 i wykażemy sprzeczność: (3a+1)²=3k 9a²+6a+1=3k 3(3a²+2a)+1= 3k, a że i a i k są l.naturalnymi więc mamy sprzeczność i tak samo przez zapisaniu jej jako (3a+2)

PW: Dowód nie wprost. Załóżmy, że żadna z liczb a, b, c nie dzieli się przez 3, to znaczy istnieją liczby naturalne p, q, r , i, j, k, dla których a = 3p + i, b = 3q + j, c = 3r + k oraz i, j, k ∊ {1, 2}. Lewa strona badanej równości jest równa (1) (3p + i)² + (3q + j)² = 9(p²+q²) + 6(pi+qj) + i² + j², przy czym i²,j² ∊ {1², 2²} = {1,4}. Jak widać liczba (1) dzielona przez 3 daje resztę 1 (pierwsze dwa składniki dzielą się przez 3, a suma i²+j² jest równa 2, 5 lub 8). Prawa strona równości jest równa (2) 9r² + 6rk + k², a więc dzielona przez 3 daje resztę 1 (pierwsze dwa składniki są podzielne przez 3, a trzeci składnik k² jest równy 1 lub 4). Pokazaliśmy, że założenie "żadna z liczb a, b, nie jest podzielna przez 3" prowadzi do sprzeczności, gdyż liczba (1) dzielona przez 3 daje resztę 2, zaś liczba (2) − resztę 1. Założenie jest więc fałszywe, co najmniej jedna z liczb a, b, c musi być podzielna przez 3, co kończy dowód.

PW: Poprawka: końcówka wiersza 7. winna brzmieć: "... daje resztę 2".