wielomiany P@weł: Witam! Potrzebuje pomocy w rozwiazaniu zadania z Wielomianow, oto one: Pierwiastki równania: x³ − 3x² + ax + 1 = 0 tworzą ciąg geometryczny. Znajdź wartosc parametru a i rozwiąż równanie. Na początku pomyslalem ze moze to trzeba zrobic tak: x(x² − 3x +a) + 1 = 0 x₁=0 v Δ=9−4*1*a= 9 − 4a No ale niestety nie mam pomysłu co z tym dalej zrobic, Pomoże ktoś

J: pierwiastki: a₁ , a₁*q , a_*q² W(a₁) = 0 W(a₁q) = 0 W(a₁q²) = 0 oraz: (a₁q)² = a₁*a₁q²

P@weł: A w inny sposob nie da sie zrobic? W(a₁) = a₁³ − 3a₁² + aa₁ + 1 = 0 W(a₁q)= (a₁q)³ − 3(a₁q)² + a(a₁q) + 1 = 0 W(a1q2) = (a1q2)³ − 3(a1q2)² + a(a1q2) + 1 = 0 Podsuniesz jakis pomysl co dalej z tym zrobic?

P@weł: ?

J: Tutaj masz bardzo podobny przykład: https://matematykaszkolna.pl/forum/229696.html

ADH: J, no dobra, zrobilem sposobem ICSP: (x−a₁)(x−a₁q)(x−a₁q²) = w(x) (x² − xa₁q − xa₁ + a₁²q)(x−a₁q²) x³ − x²a₁q − x²a₁ + xa₁²q − x²a₁q² + xa₁²q³ + xa₁²q² − a₁³q³ x³ + (−a₁q−a₁−a₁q²)x² + (a₁²q + a₁²q³ + a₁²q²)x − a₁³q³ No i jak to teraz mam przyrównać do W(x) zeby obliczyc a i rozwiazac rownanie, gdyby to bylo prostszej wersji rownanie to bym przyrownal ale to jest zbyt rozbudowane... POMOCY!

J: Spróbuj sposobem "Bogdana" ... jest prostszy.

ADH: A pomoglbys zrobic tym sposobem, bede bardzo wdzieczny, tego typu zadania juz robilem z przyrownywaniem ale mniej rozbudowane?

ADH: Dobra J, niech bedzie tym sposobem Bogdana , tylko mi pomoz Mamy

	a		a2
W(x)= x3 + (−aq−a−		)x2 + (a2q+a2+		)x − a3
	q		q

w(x) = x³ − 3x² + ax + 1 =0 Będzie 1=1 , −a³ = 1 a³ = −1 i tu klopot bo przeciez nie moge pierwiastkowac liczb ujemnych

zombi: Możesz po pierwiastek jest nieparzysty. Tzn. ³√−1 = −1

ADH: Dzięki zombi

ADH: Kurcze ciagle cos mi zle wychodzi , moglby chociaz ktos napisac jakie odpowiedzi będą

ADH: Pomoze mi to ktos dokończyc, zle mi to wychodzi, proszę

ADH: Narazie mam jedynie: 1=1 ; −a³ = 1 a³ = −1 a= −1 Chociaż i tak nie wiem czy dobrze do tego doszedlem

ICSP: a = x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ tworzą ciąg geometryczny zatem mam : a = x₁x₂ + x₂x₃ + x₂² = x₂(x₁ + x₂ + x₃) = 1 * 3 = 3 bo x₂ = 1 oraz x₁ + x₂ + x₃ = 3

ADH: ICSP , Bardzo Ciebie proszę , zrob tym sposobem co ja robilem, skoro sie juz tak natruudzilem i w miare jest dla mn8ie jasny to wolalbym aby bylo tym sposobem

ICSP: = −3 x₂ = −1

ICSP: Niech będzie zatem twój sposób. Oblicz q porównując współczynniki przy x² (a = −1)

ADH: Ja rozumiem , ze tak trzeba zrobic tylko klopot w tym ze nie wiem czy dobrze mi wychodzi q: Ja to napisalem tak:

	a
(−aq−a−		) = −3
	q

	(−1)
(−(−1)q−(−1)−		) = −3
	q

	1
q + 1 +		= −3 / *q
	q

q²+4q+1 = 0 Δ= 12 √Δ = 2√3 q₁ = −2−√3 q₂= −2+√3 I wlasnie jakies dziwne q mi wyszlo nie wiem czy dobrze

ICSP: q policzone dobrze. Licz dalej

ADH: ICSP i teraz musze jeszcze policzyć te "a" z wspolczynnikow przy x :

	a2
a2q+a2+		= a ?
	q

czy to juz koniec zadania, i odpowiedzią jest a= −1

ICSP: a = −1 ale to drugie a = −3 Czyli odp to a = −3

ADH: ICSP, te drugie a obliczyles podstawiając pod:

	a2
a2q + a2 +		= a
	q

pierwszo: q₁= −2−√3 i a= −1 a potem: q₂= −2+√3 i a= −1 ? Chce wiedziec dokladnie jak to zostalo obliczone

ICSP: Zwykłe podstawienie ?

ADH: Dla q₁ = −2−√3 i a=−1

	a2
a2q + a2 +		= a
	q

	(−1)2
(−1)2(−2−√3) + (−1)2 +		= a
	(−2−√3)

	1
−2−√3 +1 +		= a
	−2−√3

	1
−1−√3 +		=a
	−2−√3

−1(−2−√3)		√3(−2−√3)		1
	−		+		= a
−2−√3		−2−√3		−2−√3

2+√3 + 2√3 + 3 + 1
	= a
−2−√3

6+√3 + 2√3
	= a
−2−√3

mi to wyszlo tak , raczej z tego nie wychodzi a =−3 , pomozesz dobrze rozwiazac?

ADH: ?

ICSP:

	1
−		= − 2 + √3 − zwykle usunięcie niewymierności z mianownika.
	2 + √3

Zaczynając od 5 linijki mamy :

	1
−2 − √3 + 1 −		= a
	2 + √3

−2 − √3 + 1 − 2 + √3 = a a = −3

ICSP: lub dalej jak u ciebie :

6 + 3√3
	= a
−2 − √3

3(2 + √3)
	= a
−(2 + √3)

a = −3

ADH: Faktycznie , ja poprostu nie dodalem 2√3 do √3, o jejku... I tak samo dla q₂= −2+√3 i a=−1 wychodzi a=−3 I to koniec co nie?

ICSP: Na pewno wolisz to rozwiązanie ? Moje zawiera się w jednej linijce i nic nie trzeba liczyć

ADH: Tak jest dla mnie bardziej logiczne, podobne zadania wykonywalem z wiadomymi miejscami zerowymi cos na zasadzie tego zadania: Liczby 1 i 2 sa miejscami zerowymi wielomianu: w(x) = x³ −6x² + mx + n znajdz m, n . rozpisywalem w(x) = 1(x−1)(x−2)(x−x_o) i wynik przyruwnywalem do glownego w(x), ta metoda jest dosyc latwa

ADH: Jeszcze jedno ogolnie wynikiem jest ciag geometryczny , gdzie:

	a
x1 =		, x2 = a, x3 = aq , a=−3 , q1=−2−√3 lub q2= −2+√3
	q

i popodstawiac i wyjdą mi dane wartosci x₁,x₂,x₃ co nie?

ICSP: w(1) = 0 w(2) = 0 i dostajesz układ równań z parametrami m oraz n Tak będzie jeszcze prościej. a = −1 , q₁ = −2 − √3 , q₂ = −2 + √3

ADH: to po co ja liczylem ten a= −3 skoro on mi nie potrzebny?

ICSP: Liczyłeś a, ponieważ o to pytali

ADH: No faktycznie pytali o ten a ktory jest przy x : ax A to a=−1 to mozna powiedziec ze to formalnosc zeby obliczyc q co nie ? (ono się nie liczy jako odpowiedz) No i sprawdzenie:

	a
x1 =		; x2 = a ; x3=aq
	q

Dla q₁ = −2−√3 i a=−1 :

	−1
x1=		= 2−√3
	−2−√3

x₂=−1 x₃= 2+√3 Dla q₁ = −2+√3 i a=−1 :

	−1
x1=		= 2+√3
	−2+√3

x₂=−1 x₃= 2−√3 Dobrze? ?

ICSP: Dobrze