planimetria bezendu: Na rysunku przedstawiono prostokąt złożony z 3 przystających kwadratów. Uzasadnij, że α+β=45⁰ Próbowałem to rozpisywać ale β wychodzi 180

razor:

	1
tgα =
	3

	1
tgβ =
	2

tg(α+β} = ...

bezendu: czemu tg ?

razor: Bo tak najłatwiej policzyć gdybyś chciał stosować sinus albo cosinus musiałbyś liczyć długość przeciwprostokątnych, wprowadzać oznaczenia itd. Tak jest szybciej

Mila: α, β− katy ostre. Ja liczyłabym sin α, cos α, sinβ, cosβ sin(α+β)=sin α* cos β+ sinβ*cosα= ten wzór pamiętam

	1		2		1		3
=		*		+		*		=
	√10		√5		√5		√10

	2		3		5		√2
=		+		=		=		⇔
	√50		√50		5√2		2

α+β=45^o

Draghan: Milu, czy to nie Ty pisałaś (do bezendu nawet chyba), że "sposób rozwiązania dopasowujemy do zadania"? Mamy dane wprost wszystkie dane do obliczenia tangensów Dlaczego z sinusów?

bezendu: Ja to robiłem na dwa trójkąty pierwszy β+90−β+90=180 i wychodziło masło maślane

Saizou : Mila napisała że wzór na sin(α+β) pamięta, bo jej się nie chce wyprowadzać wzoru na tg(α+β), ani zaglądać do tablic xd

Draghan: Aaaaaa... No, chyba że jest tak, jak mówi Saizou bezendu, dlaczego tak? Skąd wyprowadziłeś to równanie?

bezendu: z tego drugiego trójkąta..

Draghan: To coś nie pykło. Ale to nic, masz poprawne rozwiązanie, teraz wnioskuj i zapamiętuj

bezendu: Przekątne równoległoboku o bokach a i b mają długościach przekątnych m i n. Uzasadnij, że

	1
a2+b2=		(m2+n2)
	2

	n		m
a2=(		)2+(		)2
	2		2

	n		m
b2=(		)2+(		)2
	2		2

	n2		n2		m2		m2
a2+b2=		+		+		+
	4		4		4		4

	2n2		2m2
a2+b2=		+
	4		4

	n2		m2
a2+b2=		+
	2		2

	1
a2+b2=		(n2+m2) ?
	2

Pierwszego nadal nie rozumiem

Mila: Dokładnie tak, jak napisał Saizou. Draghan,Razor, napisz do końca Twoje rozwiązanie. Jest ciekawe. Na pewno przyda się komuś.

bezendu: I tak tego nie rozumiem. A zadanie numer 2 ok ?

Saizou : bezendu a czy przekątne w równoległoboku przecinają się pod kątem prostym ?

bezendu: Nie.

Saizou : wiec myśl dalej bo tak to nie jest dobrze xd

zawodus: Ja kiedyś to robiłem na zespolonych Piękne zadanie

zawodus: Chodzi o pierwsze

bezendu: już wiem m²=a²+b²−2ab*cosα n²=a²+b²−2abcos(180−α) m²+n²=2(a²+b²)

	1
a2+b2=		(m2+n2)
	2

Dostałem olśnienia

Mila: Bezendu , napisać z oznaczeniami zadanie1)? Zadanie z 20:12 żle Przekątne nie są prostopadłe. Komentarz: przekątne dzielą się na połowy, Kąty przeciwległe równe, Kąty sąsiednie dają w sumie 180^o. Niewielka poprawka musi byc.

Draghan: Kiedy pisałem, to się pojawiło kilka nowych wiadomości, ale szkoda mi wyrzucać moją pisaninę Także wrzucam, co napisałem Bezendu, widzę że wyszedłeś z założenia, że przekątne przecinają się pod kątem prostym... A tak nie jest Kąt prosty między przekątnymi jest w równoległoboku o równych bokach, czyli w rombie A pierwsze? Najfajniejszy sposób (wg mnie) podał razor. Masz obliczyć kąt α+β. Masz tam też 2 trójkąty prostokątne, o znanych przyprostokątnych. Czyli jeden trójkąt: − ma kąt α i kąt prosty − jego przyprostokątne mają długości 3 i 1. Drugi trójkąt: − ka kąt β i kąt proty − jego przyprostokątne mają długości 2 i 1. Mając przyprostokątne, łatwo policzyć tg, zarówno z α, jak i z β. Masz dwa wyjścia: liczysz tgα i tgβ i sprawdzasz w tablicach, dla jakich kątów, po czym dodajesz, albo liczysz tg(α+β) (bo tgα i tgβ znasz) i na podstawie tego odczytujesz z tablic bezpośrednio kąt α+β

Saizou : Draghan będziesz kozak jeśli podasz dokładne wartości tych kątów

bezendu: Już drugie poprawiłem. Poproszę to pierwsze z oznaczeniami.

Mila: Piszę.

Draghan: Nie podam Bo nie liczyłem tego A teraz rozpościera się przede mną układ współrzędnych, więc mam co robić Głowię się nad analityczną, której nie lubię Ale muszę zrobić to zadanie, chociaż nie wiem, jak się za nie zabrać

bezendu: Analityczna to jest piękna sprawa (oprócz wektorów)

Draghan: O, kolego! Wektory to jest piękna sprawa Właśnie. Miałem się o tym pouczyć. Widziałem gdzieś na stronie wpis Gustlika, dotyczący liczenia pól figur z wektorów... Warto to znać Ale najpierw trzeba znaleźć Osobiście wolę geometrię na płaszczyźnie, taką zwykłą

bezendu: To widzisz kolego, bo ja wolę wszystko oprócz geometrii na płaszczyźnie

zawodus: Wektory potrafią rozwalić każde zadanie praktycznie

Draghan: Teraz − jak mniemam − nastąpić musi dyskusja, na temat: "co znaczy 'rozwalić'?"

zawodus: Na to czekałem

Draghan: Doprecyzuj swoją wypowiedź z 20.41, zawodusie

bezendu: rozwalić=rozwiązać=dojść do rozwiązania=mieć pomysł na rozwiązanie

zawodus: rozwalić=zburzyć=zniszczyć

Draghan: Drugi pierwiastek z rozwalić x₂=zepsuć

Draghan: O, właśnie

Mila: I sposób: W ΔABC: |AC|²=(3a)²+a² z tw. Pitagorasa |AC|=√10a²=a√10

	|BC|		a		1
sinα=		=		=
	|AC|		a√10		√10

	|AB|		3a		3
cosα=		=		=
	|AC|		a√10		√10

W ΔEBC: |EC|²=(2a)²+a²=5a² |EC|=a√5

	BC		a		1
sinβ=		=		=
	EC		a√5		√5

	EB		2a		2
cosβ=		=		=
	EC		a√5		√5

sin(α+β)=sin α* cos β+ sinβ*cosα=

	1		2		1		3
=		*		+		*		=
	√10		√5		√5		√10

	2		3		5		√2
=		+		=		=		⇔
	√50		√50		√50		2

α+β=45 II sposób

	a		1
tgα=		=		w ΔABC:
	3a		3

	a		1
tgβ=		=		w ΔEBC
	2a		2

	tgα+tgβ
tg(α+β)=		=
	1−tgα*tgβ

	1   1   + 3   2		5   6
=		=		=1⇔
	1   1   1− *   3   2		5   6

α+β=45^o

bezendu: Dziękuję, a czemu nie można ułożyć jakoś równań tak jak ja próbowałem ?

5-latek: No to lap dwa wzorki z geometrii analitycznej(zobacz czy sa w tablicach maturalnych Dwusieczne kątow miedzy prostymi Ax+By+c=0 i A'x+B'y+C'=0

Ax+By+C		A'x+B'y+C'
	=+/−
√A2+B2		√A'2+B'2

Drugi Styczna do okregu (x−p)²+(y−q)²=r² w punkcie A(x₁ y₁) gdzie (p,q) to wspolrzedne srodka okregu (x₁−p)(x−p)+(y₁−q)(y−q)=r²

zawodus: Żadnych z powyższych nie ma

zawodus: *Żadnego

Draghan: Ano nie ma... A ten drugi... Istny cud

Draghan: Kurczę Znowu w sumie podpięte do cudzego tematu. 5−latek podał już trochę tych ciekawych wzorów... Tylko gdzie one wszystkie są? Trzeba to zebrać w jeden temat. Jutro A co do wektorów, to znalazłem to, o czym mówiłem, że to widziałem: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=3423 I jak sądzisz, bezendu, wektory są takie złe?

bezendu: Czytałem to zanim Ty byłeś na forum. I uwierz, że te wszystkie zadanie można zrobić bez pomocy wektorów. Geometria analityczna to kilka rozwiązań a ja dostosowuje sobie najlepsze bez wektorów.

Draghan: Nie wiesz, od kiedy ja jestem na forum Skoro tak twierdzisz... Przecież nie każę Ci tym liczyć.

bezendu: Przypuszczam, że od niedawna ?

Draghan: A to dobrze przypuszczasz

Mila: Bezendu, jakie równania układałeś, nie widzę.

bezendu: β+90−β+90=180 i potem chciałem coś z α ułożyć ale już z pierwszego nic nie wyszło.

Mila: Musiałbyć podać inną informację o drugim kącie w Δ prostokątnym.

bezendu: Czyli jedyny sposób to tg ?

Mila: Przecież podałam Ci dwa sposoby. Chyba zmęczony jesteś. Na pewno jest inny jeszcze sposób.

bezendu: Od 6 rano robię arkusze.. Czas odpocząć. Dziękuję.

Mila: Dobranoc, kolorowych snów, bynajmniej nie o matematyce.

Hugo: Witam, Milo proszę do mnie https://matematykaszkolna.pl/forum/246976.html

bezendu: Jeszcze porobię trochę zadań z planimetrii.

zawodus: Bezendu chcesz prosty sposób?

bezendu: Za zespolone dziękuję !

zawodus: Ale ten sposób to dwie linijki

Hugo: zawodus ja sie chetnie naucze

bezendu: Ja już wiem, jak Ty możesz sposób wymyślić. Hugo ciekawe skąd znasz zespolone ?

zawodus: np takie zadanie Wykaż, że α+β+γ=90

zawodus: to są oczywiście kwadraty

Hugo: ja nie znam ja sie chce nauczyć wszystkiego !

bezendu: Zawodus jutro bo dziś już nie funkcjonuję. Dobranoc.

zawodus: To jutro

Hugo: zawodus możesz https://matematykaszkolna.pl/forum/246976.html ?