indukcja matematyczna tyu: indukcja matematyczna czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć łopatologicznie jak rozwiązać tą nierówność "Wykaż metodą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej n, spełniającej podany warunek, zachodzi nierówność. 2ⁿ > 3n, n≥4 I krok (baza indukcyjna − tak to się chyba nazywa) − nierówność dla n=4 jest prawdziwa II krok − założenie: 2^k > 3n ⋀ k∊N, k≥4, III krok − teza: 2^k+1 > 3(k+1) ⋀ k∊N, k≥4, dowód: 2^k+1 = 2^k 2¹ i dalej nie wiem, co mam robić. Indukcję z równaniami w miarę sam się nauczyłem − z Waszymi podpowiedziami − ale tutaj, to jakoś nie idzie.

tyu:

Rafał28: 3k < 2^k 3k + 3 < 2^k + 3 Musi być 2^k + 3 < 2^k*2 3 < 2^k log₂3 < k k ≥ 4 > log₂ 3

tyu: w II kroku przez omyłkę napisałem 2^k > 3n natomiast prawidłowo powinno być 2^k > 3k skąd się wziął drugi wiersz od góry, czyli 3k + 3 < 2^k + 3 czy może jest jakieś rozwiązanie bez logarytmu

tyu: czy mógłby mi ktoś to wytłumaczyć, bo bez nauczyciela się tego uczę

Rafał28: Bierzesz założenie indukcyjne (czyli coś co jest pewne z góry prawdziwe) 3k < 2^k (Można dodać obustronnie 3 i też będzie prawdziwe) 3k + 3 < 2^k + 3 Twoim zadaniem jest tak przekształcać aby otrzymać tezę. A co do logarytmów nie ma tam nic specjalnego: 3 < 2^k (logarytmujemy obustronnie przy podstawie 2) log₂ 3 < log₂ 2^k (przerzucenie potęgi) log₂ 3 < k * log₂ 2 (log₂2 = 1) log₂ 3 < k log₂ 3 ≈ 1,585

tyu: nie rozumiem, niestety.

tyu: umiem udowodnić równość za pomocą indukcji matematycznej, ale w przypadku nierówności jest jakieś mnożenie obustronne, o którym każdy wie, a ja się tego domyślam, że coś takiego jest tutaj 216526 PW tłumaczył taki przykład k² < 2^k, Nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby k≥1, teza: (k+1)²<2^k+1 ale domyślam się, że to jest rozwiązywane tak I krok − obliczam (k+1)², więc mam (k+1)²=k²+2k+1 początkowa funkcja ma wzór k² < 2^k, więc dodaję obustronnie +2k+1 aby mieć k²+2k+1 < 2^k+2k+1 ale nie wiem skąd bierze się fragment podkreślony 2^k+2k+1 < 2^k +2^k =2k+1, ,a PW odnośnie tego fragmentu napisał: "niebieska" nierówność jest wynikiem zastosowania faktu, że 2k+1<2^k już dla k>2.

Rafał28: 2^k > 3k ⇒ 2^k+1 > 3(k+1) Założenie 2^k > 3k /*2 2^k+1 > 6k > 3(k+1) 6k > 3k + 3 3k > 3 k > 1 ( w szczególności k≥4) ============================= Odniesienie do postu 19:28, 9kwi "ale nie wiem skąd bierze się fragment podkreślony" Czy chodzi ci o dodawanie obustronne tych samych liczb? Jeżeli masz założenie indukcyjne to możesz dodawać, odejmować i stosować wszystkie działania zgodnie z zasadami matematyki aby dostać tezę. W nierówności czerwonej masz dodawanie obustronne tej samej liczby (2k + 1) w nierówności niebieskiej 2^k > 2k+1 (szacowanie) zresztą PW tam napisał

tyu: myślę, że zrozumiałem ten przykład, o który pytałem. Chodzi tutaj o to, że "korzystanie z założenia" oznacza mnożenie obustronnie założenia przez liczbę, która stoi po rozpisaniu 2^k+1, czyli 2^k2 założenie w postaci 2^k > 3k mnożę obustronnie przez 2 czyli mam 2^k > 3k /*2 − dopiero zrozumiałem, to co napisałeś Później z prawą stronę tego wymnożonego przez 2 założenia wykorzystuję do nierówności 6k > 3(k+1) i wykazuję, że jest ona prawdziwa dla k∊N, i k≥4 co wyżej wykazałeś,

tyu: dziękuję za pomoc