indukcja matematczna :) ala: udowodnić za pomocą zasady indukcji matematycznej: a)∀n≥5 n² <2ⁿ b)∀n∊N∪{0} 169|3ⁿ − 26n − 1 c)∀n∊N 6|n³ − n Nie potrafię przeprowadzić dowodu w 2. części Pomoże mi ktoś?

PW: a) Założenie indukcyjne. Nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby k≥1, to znaczy (1) k² < 2^k Teza indukcyjna. Nierówność jest prawdziwa dla n=k+1, to znaczy (2) (k+1)² < 2^k+1 Dowód. Z założenia prawdziwości (1) wynika (k+1)²=k²+2k+1 < 2^k+2k+1 < 2^k +2^k =2^k+1, co należało wykazać. Zastosowanie zasady indukcji kończy dowód. Dla ciekawskich można dodać, że "czerwona" nierówność wynika z założenia, zaś "niebieska" jest wynikiem zastosowania faktu, że 2k+1<2^k już dla k>2. Dla poparcia naszej wiedzy o tym fakcie można narysować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x)=2x+1 i g(x)=2^x (powołujemy się na wcześniejszą wiedzę o przebiegu tych funkcji) albo ... znaleźć prosty dowód nierówności dla liczb naturalnych 2k+1 < 2^k dla k>2. W skrajnym wypadku można zastosować ... dowód indukcyjny.

Rafał28: Albo tak: k² < 2^k ⇒ (k+1)² < 2^k+1 2^k+1 > 2k² > (k+1)² Rozwiązujesz nierówność 2k² > (k+1)² i sprawdzasz czy jest prawdziwa dla k≥5. Jeżeli tak to koniec dowodu.

:) ala: dzięki