Ciągi. Majka: Ciąg a₁, a₂, a₃ jest ciągiem arytmetycznym, natomiast b₁, b₂, b₃ geometrycznym. Wiedząc że: a₁ b₁ = 1, a₂ b₂ = 4, a₃ b₃ = 12 a₁ + a₂ + a₃ = 6. Wyznacz te ciągi.

Draghan: Z góry zaznaczam, żeby nie brać mojego rozwiązania za pewniak, bo zdarza mi się pomylić w rachunkach Założenie, na którym oparłem całe rozwiązanie, brzmi: Skoro a₁*b₁=1, to: 1. a₁=b₁=1 v 2. a₁=b₁=−1 Jeśli to założenie jest niepełne, proszę pisać Ale chyba nie ma w zbiorze liczb rzeczywistych innej pary liczb, której iloczyn jest równy jeden. Przynajmniej ja na nic innego nie mogę wpaść Mamy podaną sumę 3−wyrazowego ciągu arytmetycznego, więc wykorzystajmy to

	2a1+(n−1)r
Sn=		*n
	2

dla n=3

	2a1+(2)r
S3=		*3=(a1+r)3
	2

(a₁+r)3=6 a₁+r=2 r=2−a₁ 1. Zajmiemy się teraz rozwiązaniem dla a₁=b₁=1. r=2−1=1 Teraz wyliczamy wszystkie (trzy ) elementy ciągu arytmetycznego a₂=a₁+r a₂=1+1=2 a₃=a₂+r a₃=2+1=3 I wyznaczamy elementy ciągu geometrycznego: a₂b₂=4 b₂=4/a₂ b₂=4/2=2 a₃b₃=12 b₃=12/a₃ b₃=12/3=4 a₁=1,a₂=2,a₃=3,b₁=1,b₂=2,b₃=4 Podane liczby spełniają warunki zadania oraz są pełnoprawnymi ciągami, odpowiednio arytmetycznym (a₁=1, r=1) i geometrycznym (b₁=1, q=2). 2. Zajmiemy się teraz drugim rozwiązaniem, dla a₁=b₁=−1. r=2−(−1)=3 Teraz wyliczamy elementy ciągu arytmetycznego. a₂=a₁+r a₂=−1+3=2 a₃=a₂+r a₃=2+3=5 I wyznaczamy elementy ciągu geometrycznego: a₂b₂=4 b₂=4/a₂ b₂=4/2=2 a₃b₃=12 b₃=12/a₃

	12
b3=
	5

	12
a1=−1,a2=2,a3=5,b1=−1,b2=2,b3=
	5

Podane liczby spełniają warunki zadania, ale nie są pełnoprawnymi ciągami. Liczby b₁, b₂ i b₃ nie tworzą ciągu geometrycznego, więc to rozwiązanie odrzucamy Jeśli coś niejasne, porobiłem błędy, albo źle postawiłem warunek, proszę pisać

J: Jeśli to założenie jest niepełne, proszę pisać Ale chyba nie ma w zbiorze liczb rzeczywistych innej pary liczb, której iloczyn jest równy jeden. Przynajmniej ja na nic innego nie mogę wpaść:

1		3		4
	*2 = 1 ,		*		= 1 ... wypisywać dalej ?
2		4		3

Draghan: Dobra, error na całej linii Dzięki Chyba czas na kawę

J:

Draghan: To może inaczej

	a1+a3
a2=
	2

2a₂=a₁+a₃ a₁=2a₂−a₃ b₂²=b₁b₃

	b22
b1=
	b3

I teraz a₁b₁=1 zakładam że b₂ ≠ b₃ ≠ 0

	b22
(2a2−a3)(		)=1
	b3

2a2b22		a3b22
	−		=1
b3		b3

2a₂b₂²−a₃b₂²=b3 Skoro a₂b₂=4, to a₂b₂²=a₂b₂*b₂=4b₂ 2*4b₂ − a₃b₂²=b₃ Dzielę obustronnie przez b₂

	b3
8−a3b2=
	b2

W ten sposób otrzymałem iloraz ciągu geometrycznego... Ale nie mam pojęcia, czy idę w dobrym kierunku Idę w dobrym kierunku? Jeśli tak, to będę coś próbował dalej

J: Spróbuj tak : 2a₂ = a₁ + a₃ i a₁ + a₃ = 6 − a₂ , czyli: 2a₂ = 6 − a₂ ⇔ 3a₂ = 6 ⇔ a₂ = 2 a₂* b₂ = 4 , czyli: 2*b₂ = 4 ⇔ b₂ = 2 .... i kombinuj dalej

Draghan: Ok, dzięki, J Coś się wykombinuje Hehe a₂ i b₂ wychodzą całkiem jak wyżej, kiedy rozwiązywałem dla tych dwóch szczególnych przypadków Dobra. Idę liczyć Dam później znać, co z tym

T1000: Majka zrobiłas to zadanie?

T1000: nieaktulanee!

Draghan: Ej, czemu nieaktualne? xD Właśnie policzyłem różnicę ciągu arytmetycznego I wychodzi, że a₁ rzeczywiście równa się 1 i dalej to już leci tak samo, jak moje rozwiązanie z błędnym założeniem Ale wszystko dzięki J Wrzucić, jak policzyłem r? Czy nie trzeba?

J: Coś nie tak ... Odpowiedź: arytmetyczny; 3,2,1

	1
geometryczny:		,2,12
	3

troll: won stond

T1000: J zobaczysz to? https://matematykaszkolna.pl/forum/245965.html

Draghan: Hm. Ja podstawiałem do tego, co policzyłem troszkę wyżej, czyli tam gdzie "policzyłem" iloraz. I oparłem się na Twoim a₂ = b₂ = 2. Dalej: a₃=a₂+r a₃=2+r b₃=b₂*q b₃=2q q = 8 − a₃*b₂ q = 8 − a₃*2 q = 8 − (2+r)*2 q = 8 − (4+2r) q = 8 − 4 − 2r q = 4 − 2r a₃*b₃ = 12 (2+r)*(2q) = 12 (2+r)*(2(4 − 2r)) = 12 (2+r)*(8 − 4r) = 12 16 − 8r + 8r − 4r² = 12 −4r² = −4 r² = 1 r = 1

Draghan: Ups. Zapomniałem o alternatywie, że spierwiastkowane r² może być równe r=−1 Wtedy mamy dwa rozwiązania: i moje i Twoje, J

J: Pokaż to drugie ...

Draghan: r = 1 to mam policzone całkiem wyżej, gdzie miałem błędne założenie. A dla r = −1: a₂ = a₁ + r a₁ = a₂ − r a₁ = 2 + 1 = 3 Arytmetyczny wygląda tak: 3,2,1. A teraz geom.: q = 4−2r q = 4−2*(−1) = 4+2=6

	1
Skoro b2 = 2 i q = 6, to b1 =		, b2 = 2, b3 = 12
	3

J: No przecież taką Ci pokazałem odpowiedź ... Tylko niepotrzebnie się tak męczyłeś ..Rozwiazanie jest dużo prostsze

J: Nie ma potrzeby obliczania r i q.

Draghan: No tak Ale rozwiązania są dwa i jakoś je trzeba policzyć Tak więc przydatne są różnice i ilorazy ciągów

Draghan: I wcale nie niepotrzebnie Przypomniałem sobie kawałek materiału z ciągów i zanotowałem, że trzeba liczyć takie cosie bardzo uważnie (np. nie gubić jakiegoś rozwiązania ).

J: Jakie dwa rozwiązania ? ( jest tylko jedno: dwa ciagi) ..... i kto Ci powiedział ,że trzeba liczyć r i q , owszem, jesli jest taka potrzba..tutaj jej nie było .

Draghan: Ano tak, chodzi mi o rozwiązanie jedno, w którym podaje się dwa ciągi Bardzo możliwe, że nie ma potrzeby liczenia r i q. Wcale nie mówię, że muszą być Skoro da się rozwiązać inaczej, to dlaczego nie? Ja nie jestem w tym biegły. Rozwiązałem, jak (nie)umiałem W każdym razie dziękuję Ci za pomoc

Draghan: Nie, mój błąd. Ciągi są cztery Przecież jeszcze a₁=1,a₂=2,a₃=3,b₁=1,b₂=2,b₃=4 (które to rozwiązanie powstaje, gdy niepotrzebne r ma wartość 1).

J: Powodzenia w ciągach ..

Draghan: Dzięki, przyda się

Majka: Już policzyłam, dziękuję