. Ksia: Wie ktoś bo ja nie mam pojęcia jak się za to zabrać ? W kuli o promieniu R umieszczono 4 przystające kulki. Jaką największą wartość może przyjąć suma ich objętości.

Mila: |OP|=R |OM|=połowa przekątnej kwadratu o boku 2r Ułóż równanie i oblicz r. Potem oblicz V Poradzisz sobie?

Ksia: chyba nie , nie wiem się jak za to zabrać

J: Masz kwadrat o boku 2r , zatem jego przekątna d = 2r√2 i jej połowa x = r√2 Teraz x + r = R i obliczasz r , a potem objętość 4 kulek

Ksia: a jak się za to zabrać bo za nic nie mogę tego ogarnąć ?

J: Kasiu .. , a do jakiej Ty chodzisz szkoły ?

Ksia: po prostu nie jestem z tego dobra , a stereometrie dopiero zaczełam się uczyć a nauczyciele takie zadanka dają bez wyjasnienia i jak żyć

5-latek: J . Podejrzewam ze do liceum (stereometria − to ktora klasa ? Nie zdziwilbym sie zeby to byla mayturzystka

J: Tu masz przekrój, wiec to już planimetria. Masz już wskazówki, wiec to już algebra. r√2 + r = R , spróbuj obliczyć r z tego równania.

Ksia: jakie to ma znaczenie , po co drązyć temat , to jak pomożesz , proszę

5-latek: Jak zyc to oto musisz zapytac naszego premiera x+r=r za x podstaw r√2 r√2+r=R r(√2+1)=R

	R
r=
	√2+1

r= mozesz usunac niewymiernosc z mainownika i dzialaj dalej sama

5-latek: Oczywiscie ma byc x+r=R

J: I tak już podałeś r =

5-latek: J Powiem CI ze to jest i smieszno i straszno skoro nie umie rozwiazywac takich rownan. Mam tylko taka nadzieje ze wzor na objetosc kuli zna

Ksia: może i śmieszno,strasznie ale co poradzisz , ale już nadrabiam zaległośc a i wzór zna zna

J: No to po zadaniu. Oblicz objętość jednej kulki i wynik pomnóż prze 4.

Ksia: ok poradzę sobie już i serdecznie dziękuję , wiem że macie świetny ubaw , ale takie życie nie każdy jest ze wszystkiego orłem , mam jeszcze 1 zad ale sama spróbuje zrobić

5-latek: Kasiu w zadnym wypadku to nie jest ubaw . W takim rownaniu musisz skorzystac z tej wlasnosci dzialan na liczbach rzeczywistych (wyciaganie wspolnego czynnika przed nawias Otoz jesli mamy a*c+b*c=c(a+b) UNas a=√2 i b=1 a c=r wyciagasz r przed nawias i masz r(√2+1) bo eraz w druga strone r*√2+r*1= r√2+r czy naprawde nikt wam tego nie tlumaczy ? Pewnie ze nikt nie jest orlem (to samo mowie w pracy ale skoro robie wiecej i umie wiecej to chcialbym wiecej zarabiac Nie ?

5-latek: No a co to za zadanie ktore masz jeszce do zrobienia ?

Ksia: no niestety nie olewka kompletna , zgadzam się z tym co mówisz , ale żeby płacili adekwatnie od tego to byłbyś milionerem pewnie , ale dobra to już wiem jak skończyć , ale w miedzy czasie robiłam takie zadanko cytuję ,,wyznacz kąt dwuścienny między ścianami bocznymi w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym '' i narysowałam , wyznaczyłam i czy trzeba do tego jakies obliczenia robic , bo w zadaniu nie pisze nic o obliczeniach ?

PW: A teraz doleję łyżkę dziegciu. Kto wytłumaczy, dlaczego taka czwórka kulek spełnia warunki zadania (daje maksymalną objętość). Według mnie to jest najważniejsza kwestia w tym zadaniu, a szanowni przedmówcy przyjmują milcząco, że skoro ktoś coś narysował, to to coś jest dobre. Pytam zupełnie poważnie. Mam słabą wyobraźnię przestrzenną i rysowanie idzie mi mozolnie, ale to jest sprawa drugorzędna − żaden rysunek nie jest dowodem, że to co narysowaliśmy jest "maksymalne". Jak wiadomo intuicja bywa zawodna.

5-latek: Skoro nie masz danych to nie potrzeba obliczen

Ksia: o to dzięki za odpowiedź bo podobnie też tak myślałam , a o co chodzi PW ?

J: https://matematykaszkolna.pl/forum/243915.html . Wdaje mi się,ze jednak ten wariant nie jest do końca prawidłowy. Mówimy o kulach przystających ( co to znaczy), a tutaj, w tym podejściu do rozwiązania kule są raczej "parami przystające.Bardziej przemawia do mne ta wersja, kule maja ten sam promień.

Ksia: kurcze no tylko nie mów że to to jest źle

J: Nie ... ja tylko mówię,że właśnie kulki mają mieć ten sam promień, tak jak tutaj w tym rozwiązaniu.

Ksia: a wykonałbyś obliczenia , bo tam jakoś dziwnie jest napisane , to będę miała 2 wersję , bo ten sysunek daje do myslenia , mógłbyś ?

pigor: ..., ja bym bardzo i na serio pomyślał tu i teraz o... przypadku 3−ech kulek stycznych między sobą i tej 4−tej na nich w środku, czyli w "dołku" utworzoym przez te 3−y ...

Ksia: Ciekawa teoria czyli myślisz że w tej kuli znajduje się ta jedna kulka , a na niej leżą rozłożone 3 kulki , ale ja wiem , mi się zdaje że chodzi o to że w tej jednej kuli , są takie same kulki , i pod tym kątem rozwijam tok myslenia

pigor: ... , chyba się nie rozumiemy; w danej jednej duuużej kuli w płaszczyźnie jej średnicy leżą styczne do siebie i każda do tej dużej takie same 3 małe kulki i pod albo nad nimi (te trzy utworzą w środku bardzo mały, ale istotny "dołek") leży 4−ta identyczna mała kulka.. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− wyobraź sobie to, patrząc na to co powiedziałem jak na przekrój środkowy dużej kuli z góry, ale wtedy "widzisz" 3 kulki wewnątrz dużego koła ( nie jak u Mili 4 male kulki) i tę 4−tą na nich (albo pod nimi) w środku dużej kuli . .. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− .. mam nadzieję, że Mila ci to pięknie narysuje ., bo ja nie mam i nie chcę mieć (przepraszam) pojęcia jak się rysuje w tym edytorze .

Ksia: rozumiem o czym mówisz , może wczesniej źle to sformuowałam , wporządku rozumiem , ale dzięki że dałeś mi dużo do zrozumienia , a jak trafić do Mili ?

pigor: ... , powtarzam, oczywiście wszystkie "moje" małe 4 kulki o których ... opowiedziałem są do siebie przystające (takie same), styczne z sobą i z 5−tą zewnętrzną dużżą kulą . ufff . ...

Ksia: już wiem sorki głupie pytanie

pigor: ..., jak trafić nie trafić tylko, ładnie ją tu poprosić ,a na pewno usłyszy i jak tylko będzie miała czas spełni twoją prośbę

Ksia: ok , to ją bardzo ładnie poproszę tylko nie wiem czy w tym poście do niej pisać czy jak bo jestem tu szczerze mówiąc nowa i nieoblatana w temacie

pigor: ... , a tak jeszcze dopowiem i ... znikam już naprawdę, coś mi wygląda, że wtedy środki tych 4−ech małych kulek utworzą piękny czworościan foremny o krawędzi długości 2r − średnicy tych kuleczek . ..

pigor: ..., tak w tym poście

Ksia: Droga Mila ,bardzo ale to bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu bo każdy ma inny tok myslenia a ja chcę je mieć dobrze zrobione i wyjasnione co i jak bo chciałabym to zrozumieć , a zaczynam mieć mętlik . Pomożesz jeśli będziesz w stanie i oczywiście jeśli będziesz miała czas ?

Mila: Myślę nad rysunkiem przestrzennym. ( Cztery kłębki włóczki ( kule) mam przed sobą) Rysunek z 18:48 pasuje do kul wpisanych odpowiednio w walec. Szkoda,że dopiero dzisiaj się odezwałaś. Kule o jednakowych promieniach r są ułożone w kuli o promieniu R, tak , aby były największe, to muszą być tak "utkane", że ich środki są wierzchołkami czworościanu foremnego o krawędzi 2r. (to pisze właśnie kolega Pigor) Promień kuli opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi 2r wynosi: ( patrz wzory, albo

	3
wyprowadź, jako R=		H, H − wysokość czworościanu foremnego)
	4

	2r√6
Rc=
	4

Promień kuli opisanej na tych czterech małych kulach jest większy o r.

	r*√6
R=r+		/*2
	2

2R=2r+r√6 2R=r(2+√6) /(√6−2}) 2R(√6−2)=r*(6−4) 2R*(√6−2)=2r r=R*(√6−2) Rysunek później. (Pigor , PW, ? zgadzacie się teraz z modelem?

Ksia: wybacz że później nie zerknęłam bo arkusze rozwiązywałam Ok dziękuję bo już miałam mętlik i nie wiedziałam co idzie w dobrym kierunku

Ksia: Dobrze

Mila: Nie wiem, co oznacza Twoje dobrze, czy wynik zgodny z odpowiedzią, czy ...?

Mila: Będę za pół godziny.

Ksia: wynik miałam inny , poprostu spaprałam , dobrze oznaczało że poczekam na twój rysunek ,

Mila: Jednak ten układ pierwszy też możemy rozważać. Kolega obliczył promień małej kuli ( oznaczę r₁), możesz porównać te dwa promienie.

	R
r1=
	√2+1

r₁=R*(√2−1) Różnica niewielka, ale √6−2>√2−1

Ksia: ok nadążam

Ksia: no dobra mam to, to teraz wystarczy obliczyć objętość 1 kuli razy 4 (chodzi mi o te kulki znajdujace sie w srodku ?

Mila: Rysunek jest mało przejrzysty.Musisz sobie zbudować model np. z czterech jabłek czy pomarańczy, to zobaczysz . Tam masz rysunek http://www.zadania.info/d45/3871979

Mila: Tak ,obliczasz objętość jednej kulki i mnożysz przez 4. (√6−2)³ =(√6−2)²*(√6−2) tak licz sześcian tego wyrażenia. Masz odpowiedzi do zadania?

Ksia: ok spróbuje to sobie zbudować , ok to zaraz obliczę objętość , a odpowiedzi nie mam bo to mam zaprezentować na egz. ustnym semestralnym JUTRO i chcę się jak najlepiej przygotować

Mila: W jakiej szkole?

Ksia: zaocznie weekendowo gdybym miała stacjonarnie , pewnie bym takich problemów nie miała

Mila: To podaj dwa przypadki rozłożenia kul, jak na zaoczne, to za trudne te zadania.

Ksia: no trudne ale jak matura za miesiąc to musi być ciężko ale trzeba próbować , z tymi przypadkami chodzi o to kiedy ta wartość jest największa wtedy, gdy kule są styczne do siebie i do kuli dużej , o to ci chodzi ?

Mila: 1) są styczne jak pokazałam na pierwszym rysunku (wtedy mniejsz wychodzi promień) 2) są styczne jak masz na drugim rysunku ( wtedy wychodzi promień większy i objętość będzie większa.

Ksia: aha , to mam prośbę pomożesz mi to wszystko upleść te wszystkie działania chronologicznie (rysunki nie ) bo mi się teraz to wszystko pomieszało , i czuję że robi mi się masło maślane ?

Bogdan: Szkic do tego zadania mógłby być taki. Środki czterech stycznych do siebie kul o promieniu r są wierzchołkami czworościanu foremnego, każda krawędź tego czworościanu ma długość 2r.

	r√6
S − długość promienia kuli opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi 2r, S =
	2

	r√6
R = S + r ⇒ R =		+ r ⇒ r = R(√6 − 2)
	2

Mila: Piękny rysunek Bogdanie..

Mila: Kasiu, Napisz obliczenia z 19:12 i rysunek Bogdana.

Ksia: No pięknie Bogdanie

PW: Teraz jestem przekonany. Proszę − jak łatwo czasem coś uzasadnić "od tyłu" − nie wpisywać kulek do dużej kuli, tylko na czterech ciasno ułożonych kulkach opisać dużą.

Ksia: oki , mam to już , a te obilczenia z 19:59 tez uwzględnić?

Mila: Możesz uwzględnić, ale pierwszy rysunek dołącz.

Ksia: rysunek już jest , obliczenia też , a jak teraz z objętością ?

PW: Tak, jest to bardzo ważne. "Ciasno ułożone 4 kulki" mogą leżeć płasko na stole, a mogą tworzyć "piramidkę" jak to narysował Bogdan. To jest najważniejsze w zadaniu − rozstrzygnąć, które ułożenie pozwala opisać większą kulę (czy odwrotnie − przy którym ułożeniu promienie małych kulek będą większe).

Mila: V obliczasz z wzoru na objętość, większy promień to większa objętość, dla mniejszego nie musisz już liczyc.

Bogdan:

Ksia: ok już wszystko obliczyłam , i ja już zmykam ,dziękuję wam wszystkim za pomoc , Odezwę się jutro wieczorem w tym poście i dam znać co powiedziała nauczycielka .

Ksia: Dzięki wielkie za pomoc Mila ,Bogdan,PW,Pigor, 5−latek udało się co prawda były lekkie zastrzeżenia bo stwierdziła że chodziło jej o coś innego ale podobała się ta wersja, Jeszcze raz wielkie dzięki

Mila: A wyjaśniła Ci o co chodziło? Treść zadania powinna byc podana jednoznacznie.

Ksia: Nie, zbyła mnie , no sama chciałam się dowiedzieć ale nie wyszło , ale naprawdę szczere dzięki za pomoc , jeśli jeszcze będe miała jakieś problemy z matmą to mogę się do cb zgłosić , jeśli oczywiście zechcesz

Mila: Tak