wielomian Radek: Wielomian W(x)=x³+ax²+bx+64 ma 3 pierwiastki x₁, x₂, x₃ przy czym x₂=−2x₁ i x₃=4x₁ Wyznacz a i b x₁³+ax₁²+bx₁+64=0 (−2x₁)³+a(−2x₁)²+b(−2x₁)+64=0 (4x₁)³+a(4x₁)²+b(4x₁)+64=0 Mogę taki układ zrobić i sobie wyznaczyć to co mnie interesuję czy zły pomysł ?

ICSP: Znasz wzory Viete'a dla wielomianu stopnia III ?

Wazyl: Poszukaj innego sposobu raczej

Radek: Nie bardzo, masz jakiś link może do tego ?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/225518.html

Radek: Dzięki spróbuję coś tym zdziałać

Mila: Zostaw to zadanie. Zadanie 1) Dla jakich wartości m istnieją rzeczywiste pierwiastki równania : x²+(3m−2)x+m+2=0 spełniające warunek: x₁²+x₂²>1

Wazyl: Mila mam pytanie. Z takiej treści wynika że muszą być to 2 pierwiastki rzeczywiste czy 1? Osobiście gdy nie ma stanowczo zaznaczone dwa różne zawsze robie Δ≥0.

Mila: Dobrze robisz Wazyl. Mowa o zadaniu 18:11?

Wazyl: To ok Mógłbym prosić tez o jakieś zadanie tego typu? Tylko troszkę trudniejsze jeśli masz!

Radek: Δ≥0 (3m−2)²−4(m+2)≥0 9m²−12m+4−4m−8≥0 9m²−16m−4≥0 Δ=400 √Δ=20

	2
m1=−
	9

m₂=2

	2
m∊(−∞,−		>suma<2,∞)
	9

(x₁+x₂)²−2x₁x₂−1>0 (−3m+2)²−2(m+1)−1>0 9m²−12m+4−2m−3>0 9m²−14m+1>0 Δ=160 √Δ=4√10

	7−2√10
m1=
	9

	7+2√10
m2=
	9

zawodus: zadanie 1 W(x)=(x−a)(x+2a)(x−4a) Teraz wymnóż i porównaj współczynniki.

Radek: Zawodus i to wszystko ?

Radek: wiem, że 2 jeszcze trzeba dokończyć ale czy dobrze do tej pory ?

zawodus: tak

zawodus: to znaczy moja odpowiedź do pierwszego

zawodus: tylko niefortunnie nazwałem mój pierwiastek lepiej tak W(x)=(x−p)(x+2p)(x−4p) żeby kolizji oznaczeń nie było.

Marcin: A nie powinno być czasem x₁x₂=m+2, a nie m+1(jak u Ciebie)?

zawodus: powinno

Mila: Radek, dobrze, ale daj odpowiedź. Zadanie2) Dla jakich wartości parametru m równanie 3x²−x*logm +1=0 ma pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek x₁²+x₂²=1 WazylDaj odpowiedź do poprzedniego zadania.

Mila: Radek zmiana w ostatniej Δ, bo dałeś inne wyrażenie , ma być 9m²−14m−1>0 Nie wpłynie to na odpowiedź, ale dziękujemy Marcinowi za wykrycie błędu.

Marcin:

Radek: Zadanie 2 logm²−12≥0 (logm−2√3)(logm+2√3)≥0 Tak ?

Mila: W drugim jest mała pomyłka nie 12 a inna liczba. Daj odp. do (1).

Mila: A to delta, to dobrze Radek, myślałam, że to już odpowiedź. Licz dalej.

Radek:

	2
odp do pierwszego m∊(−∞,−		>suma<2,∞)
	9

Radek: x₁²+x₂²=1 (x₁+x₂)²−2x₁x₂=1

	logm
(		)2−2−1=0
	3

logm2
	−3=0/9
9

logm²−27=0 (logm−3√3)(logm+3√3)=0

Mila: 1) Do pierwszego dobrze. 2)

	c		1
x1*x2=		=
	a		3

Popraw i daj odp.

Radek:

logm2		5
	−		=0 /9
9		3

logm²−15=0 (logm−√15)(logm+√15)=0

Mila: No i?

Radek: I teraz które zawiera się w przedziale ? ale mam log ?

Mila: Masz obliczoną deltę Δ=log²m−12 i na razie nie badam jej znaku, bo trudna nierówność. z drugiego warunku masz : logm=√15 lub logm=−√15⇔ m=10^√15 lub m=10^−√15 Teraz badam jaki znak ma delta dla tych wartości. log²m−12=(√15)²−12=3>0 log²m−12=(−√15)²−12=3>0 Równanie ma pierwiastki rzeczywiste dla znalezionych m odp. m∊{10^√15 ,10^−√15}

Radek: Dziękuję logarytmy też muszę poćwiczyć, zaraz jak Pani będzie na forum to wstawię zadania z analitycznej

Mila: A zadanie ze wskazówką Zawodusa?

Radek: Nawet jeszcze nie próbowałem, bo Pani napisała żeby odpuścić

Mila: Nie jest trudne, dasz sobie radę. Ładnie się liczy..Myślałam, że trudniejsze będzie. W(x)=(x−p)(x+2p)(x−4p) wymnóż ,porównaj współczynniki. Pisz problemy.

Radek: a=−6 b=−24 ?

Mila: Też mi tak wyszło, nie masz w książce odpowiedzi?

Radek: To było zadania z arkusza. Zadania.info arkusz 2

Radek: W jednokładności o środku S i skali k obrazem okręgu o równaniu (x+3)² + (y+1)² = 1 jest okrąg o równaniu (x−3)²+(y−2)²=9 . Oblicz współrzędne środka S jednokładności. Od czego zaczynać te zadania ?

Mila: 1) obliczenie skali, (może być dodatnia albo ujemna ) 2) wypisać środki okręgów A i B 3) napisać równość wektorów z definicji jednokładności SB→=k*SA^→

Radek: S₁=(−3,−1) r₁=1 S₂=(3,2) r₂=3

	1
k=3 lub k=
	3

Mila: k=3 lub k=−3 przecież okrąg został powiększony. Oznacz środki okręgów jako A i B. Literę S zarezerwuj dla środka jednokładności.

Radek: O₁=(−3,−1) r=1 O₂=(3,2) r=3 Nie wiem jak ułożyć ten wektor

Mila: O₁=(−3,−1) O₂=(3,2) S(a,b) − środek jednokładności 1) k=3 SO₂^→=[3−a,2−b] SO₁^→[−3−a,−1−b] od współrzędnych końca odejmujemy wsp. początku [3−a,2−b]=3*[−3−a,−1−b] Licz , potem narysuję, abyś lepiej zrozumiał i zapamietał.

Radek: 3−a=−9−3a 2a=−12 a=−6 2−b=−3−3b 2b=−5

	5
b=−
	2

Mila:

	−5
S1= (−6,		)− środek jednokładności o skali k=3
	2

2) k=−3 [3−a,2−b]=−3*[−3−a,−1−b]

Radek: Ale jak to zapisać tę rówania skąd wiadomo które pierwsze i z czego to wynika ?

Mila: Z definicji jednokładności A' jest jednokładny do punktu A w skali k=3 względem punktu S⇔ SA'^→=3*SA^→ B' jest jednokładny do punktu B w skali k=3 względem punktu S SB'^→=3*SB^→ Inaczej obrazem punktu A jest punkt A', to masz podane w treści. Wskutek tego przekształcenia: |A'B'|=3|AB|

Radek: ale czemu 3−b 3−a a nie a−3 b−3

Mila: Współrzędne wektora obliczamy odejmując od współrzędnych końca współrzędne początku. Zobacz na rysunek. Początek obu wektorów jest w S.

Radek: czyli zawsze jest liczba −a liczba −b ?

Mila: Jeżeli S=(a,b), to tak. Możesz przecież oznaczyć innymi literkami. Masz rozumieć zasadę. A jak Cię uczyli?

Radek: też zapisu wektorowego ale nigdy tego nie rozumiałem co skąd sie bierze.

Radek: Dany jest okrąg o₁ o równaniu x²+y²+6x +5 =0 oraz okrąg o₂ o równaniu x²+y²−12x+8y+27 = 0 . Oblicz współrzędne środka jednokładności i skalę jednokładności, w której obrazem okręgu o₁ jest okrąg o 2 . O₁=(x−6)²+y²=4 O₁=(6,0) r=2 O₂=(x−6)²+(y+4)²=25 O₂=(6,−4) r=5

Radek:

	4		4
Też dwie skalę k=		i −		?
	25		25

Radek: w pierwszym zamiast −3 będzie 3 ?

Mila: obrazem okręgu O₁ o promieniu r=2 jest okrąg O₂ o promieniu R=5, czyli nastąpiło pwiększenie

	R		5		5
k=|		|⇔k=		lub k=−
	r		2		2

Teraz napisz wektory, z definicji jednokładności. S=(a,b) −środek jednokładności

Mila: Do poprzedniego zadania masz zrobić punkt 2 god. 22:01.

Mila: b źle obliczone.

Radek: 2−b=3+3b −4b=1

	1
b=−
	4

Mila:

	−3
a=
	2

	−1
b=
	4

	−3		−1
S2=(		,		)
	2		4

Zmęczony jesteś idź spać. Dobranoc, ja ułożę pasjansa i też kończę.

Radek: Dopóki nie zrobię jeszcze 30 zadań to nie pójdę spać. Dziękuję za pomoc.

Mila: To napisz te wektory, poczekam jeszcze.

Mila: Nie sprawdziłam dokładnie, mam obliczone tak: O1: (x+3)²+y²=2² O₂: (x−6)²+(y+4)²=5²

	5
1)Ma być skala
	2

Czyli

	5
SO2→=		SO1→
	2

	5
[6−a, 4−b]=		[−3−a, 0−b]
	2

.S₁=.............................. 2)

	5
k=−
	2

	5
[6−a, 4−b]=		[−3−a, 0−b]
	2

S₂=..............................

Radek: Dziękuję serdecznie już to chyba zrozumiałem

Mila: Dzięki Bogu. Dobranoc