Indukcja Dawid: Mam udowodnić, że n⁵ − n jest podzielne przez 5 1. n = 1 0 jest podzielne przez 5 2. n = k k⁵ − k 3. n = k+1 (k+1)⁵−(k+1) = jak rozpisać pierwszy nawias? tzn jak wygląda wzór skróconego mnożenia 5tego stopnia ?

ICSP: MTF c.k.d.

Maslanek: Rozwijając skrót: Małe Twierdzenie Fermata

Dawid: nie potrafię tego zastosować ...

ICSP: No to może najpierw zapisz poprawnie założenie indukcyjnie oraz tezę indykcyjną ?

Janek191: n⁵ − n jest podzielne przez 5 , dla n ∊ N₊ ==================================== 1) n = 1 to 1⁵ − 1 = 0 jest podzielne przez 5 2) Zakładam, że k⁵ − k jest podzielne przez 5, czyli k⁵ − k = 5 t, t ∊ N₊ k⁵ = k + 5 t Mam pokazać, że również ( k + 1)⁵ − ( k + 1) jest podzielne przez 5 ( k + 1)⁵ − ( k + 1) = k⁵ + 5 k⁴ + 10 k³ + 10 k² + 5 k + 1 − ( k + 1) = = k + 5 t + 5 k⁴ + 10 k³ + 10 k² + 5 k + 1 − k − 1 = = 5 t + 5 k⁴ + 10 k³ + 10 k² + 5 k = 5*( t + k⁴ + 2 k³ + 2 k² + k ) = 5* s gdzie s ∊ N₊ zatem na podstawie indukcji matematycznej n⁵ − n jest podzielne przez 5 dla n ∊ N₊

Janek191: n⁵ − n jest podzielne przez 5 , dla n ∊ N₊ ==================================== 1) n = 1 to 1⁵ − 1 = 0 jest podzielne przez 5 2) Zakładam, że k⁵ − k jest podzielne przez 5, czyli k⁵ − k = 5 t, t ∊ N₊ k⁵ = k + 5 t Mam pokazać, że również ( k + 1)⁵ − ( k + 1) jest podzielne przez 5 ( k + 1)⁵ − ( k + 1) = k⁵ + 5 k⁴ + 10 k³ + 10 k² + 5 k + 1 − ( k + 1) = = k + 5 t + 5 k⁴ + 10 k³ + 10 k² + 5 k + 1 − k − 1 = = 5 t + 5 k⁴ + 10 k³ + 10 k² + 5 k = 5*( t + k⁴ + 2 k³ + 2 k² + k ) = 5* s gdzie s ∊ N₊ zatem na podstawie indukcji matematycznej n⁵ − n jest podzielne przez 5 dla n ∊ N₊

Dawid: A w przykładzie 5ⁿ − 4n −1 jest podzielne przez 16 1) n = 1 5¹ − 4*1 − 1 = 0 jest podzielne przez 16 2) n=k 5^k − 4k − 1 jest podzielne przez 16 3) n = k+1 5^k+1 −4(k+1) −1 = 5^k+1 − 4k − 5 = (5* 5^k) − 4k − 5 = 5*5^k − 20k + 16k − 5 i tutaj pojawia się pytanie skąd się bierze 5*5^k − 20 + 16k − 5 ?, Rozumiem wszystko co było wcześniej aż do tej linijki. Skąd nagle 20k? i 16k?

zawodus: −4k=−20k+16k

shady: Czy mógłby to ktoś wytłumaczyć jak dla debila (czyli dla mnie ) bo nadal nie wiem skąd to sie bierze. To sie wymnaża/przeksztalca ?, gdzie i w którym miejscu ?. Bardzo potrzebuje tej odpowiedzi dzis Dzieki i pozdrawiam

zombi: https://matematykaszkolna.pl/forum/76360.html

kresus: w takich zadaniach poza znajomością wszystkich elementarnych wzorów skróconego mnożenia funkcji wykładniczych itd przydaje się znać cechy podzielności przez liczbę od dwójki po 10 dalej to już inna sprawa oraz mieć na uwadze że warto czasami zakombinować np dopisując i odejmując tą samą liczbe np 2ab −2ab po to by doprowadzić np do jakiegoś wzoru skróconego mnożenia. Jak to znasz to tylko myślisz jak zakombinować do którejś cechy podzielności i tyle. Indukcje do zadań maturalnych raczej odradzam bo to za dużo liczenia i dużo szybciej da się policzyć normalnie bez schematu tylko wystarczy pomyśleć. k⁵ −k =k(k⁴−1)=k(k²−1)(k²+1)=k(k−1)(k+1)(k²+1) dalej przypatrz się wzorom skróconego mnożenia dopisz jakąś liczbę i ją odejmij tak by dało się coś zakombinować, na końcu napisz uzasadnienie słowne za to też byłby punkty na maturze (dlaczego jest podzielna).

Janek191: Może tak: Tw. 5ⁿ − 4 n − 1 jest podzielne przez 16 dla n ∊ N₊ 1) n = 1 5¹ − 4*1 − 1 = 0 tak 2) Zakładam podzielność przez 16 dla n = k. czyli,że 5^k − 4 k − 1 = 16 t , gdzie t ∊ N₊ ( stąd 5^k = 16 t + 4 k + 1 ) 3) Mam pokazać, że z podzielności dla n = k wynika podzielność dla n = k + 1 5^{k + 1} − 4*( k + 1) − 1 = 5^k *5¹ − 4 k − 4 − 1 = 5*5^k − 4 k − 5 = ( z założenia ind. ) = 5*( 16 t + 4 k + 1) − 4 k − 5 = 5*16 t + 20 k + 5 − 4k − 5 = 5*16 t + 16 k = = 16*( 5 t + k ) = 16 m , gdzie 5 t + k = m ∊ N₊ Pokazaliśmy,że z podzielności dla k wynika podzielność dla k + 1, więc na mocy zasady indukcji matematycznej 5ⁿ − 4 n − 1 jest podzielna przez 16 , gdy n ∊ N₊.