podzielnosc abc: Udowodnij, ze 5ⁿ−n jest podzielne przez 5

Godzio: Jak można udowodnić coś co nie zachodzi ? n = 1 5¹ − 1 = 4

Trivial: Właśnie miałem mówić, że raczej to przez 5 podzielne nie jest.

abc: Sory zle przepisalem n⁵−n

abc: :<

abc: dla n>1

Basia: indukcja może być ? znasz ?

abc: niby znam ale chetnie popatrze jak ktos rozwiazuje

Jack: albo rozpisz n⁵−n=n(n⁴−1)=... i podstawiaj liczbę postaci n=5k, n=5k+1... n=5k+4. Za kazdym razem któryś nawias powinien dać krotność 5.

Trivial: Osobiście robiłbym sposobem Jacka.

abc: A jakos inaczej sie tego rozwiazac nie da?

Basia: n=2 n⁵−n = 2⁵−2 = 30 = 5*6 Z: n⁵−n = 5*k T: (n+1)⁵−(n+1) = 5*m dowód: (n+1)⁵−(n+1) = n⁵+5n⁴+10n³+10n²+5n+1−n−1 = (n⁵−n)+5(n⁴+2n³+2n²+5) = 5*k + 5(n⁴+2n³+2n²+n) = 5(k+n⁴+2n³+2n²+n) = 5*m bo m=n⁴+2n³+2n²+n jest liczbą całkowitą (a nawet naturalną)

Basia: po co tyle liczyć ? prosty dowód indukcyjny to jest ?

Trivial: Myślę, że poziom trudności porównywalny obiema metodami.

Trivial: Chociaż jak teraz patrzę, to indukcja rzeczywiście prosta.

Eta: 3/ sposób: n⁵−n= n( n⁴−1)= n(n²−1)(n²+1)=n(n−1)(n+1)( n²−4+5)= = (n−1)*n*(n+1)*(n²−4) +5*(n−1)*n*(n+1)= = (n−2)*(n−1)*n*(n+1)*(n+2) + 5*n*(n−1)*(n+1) pierwszy składnik jest iloczynem pięciu kolejnych liczb całkowitych, zatem jest podzielny przez 5 drugi składnik też podzielny przez 5 wniosek : liczba n⁵−n jest podzielna przez 5 c.n.u.