Skąd takie przejście? Zachariasz: Przyznam się że jak na razie jestem laikiem w dziedzinie matematyki. Chodzi o część zadania na udowodnienie twierdzenia że n⁵ − n jest podzielne przez 30. https://matematykaszkolna.pl/forum/81522.html Analizowałem dowód gdy dotarłem do tego wiersza: k⁵ + 5k⁴ + 10k³ + 10k² + 5k − k = 30b ... i nie wiem w jaki sposób użytkownik Patryk przeszedł do tego: k⁵ − k +5k(k+1)(k² + k + 1) = 30b Być może to dla was banale pytanie ale już od dłuższego czasu próbuje to bezskutecznie objąć umysłem. Ciekaw jestem czy jest jakiś wzór na taką zamianę liczb? Czy ktoś może mi wytłumaczyć co się tu w ogóle stało? Będę bardzo wdzięczny, gdyż muszę potrafić udowodnić że n⁵ − n jest podzielne przez 30. Z góry dziękuję

Zachariasz: Zaznaczę jeszcze że rozumiem że tutaj wszystko się zgadza. Ale moje pytanie brzmi: Jak można w taki sposób zamienić te liczby?

ZKS: n⁵ − n = n(n⁴ − 1) = n(n² − 1)(n² + 1) = n(n − 1)(n + 1)(n² − 4 + 5) = n(n − 1)(n + 1)(n² − 4) + 5n(n − 1)(n + 1) = (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n − 1)n(n + 1). (n − 2)(n − 1)n(n + 1)(n + 2) jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb zatem jest podzielne przez 5! 5(n − 1)n(n + 1) jest to wielokrotność liczby 5 oraz iloczyn trzech kolejnych liczb zatem jest to podzielne przez 5 * 3!.

Zachariasz: Dzięki za odpowiedź. Teraz wiem o co tu chodzi. Równanie jest tak "rozciągane"aby znaleźć tu jakiś element podzielny przez odpowiednie liczby (5 i 3! które to dają 5*3!=30). Nie wiedziałem że aby udowodnić że coś jest podzielne przez 3! wystarczy wykazać że składa się to z 3 liczb po kolei (ale to w sumie oczywiste ). Dzięki jeszcze raz

Zachariasz: chyba coś jednak znowu pomieszałem..

Zachariasz: "iloczyn k następujących po sobie liczb naturalnych jest podzielny przez k!" − tego nie wiedziałem

5-latek: A wiesz ile to jest 3! ?

Radek: 6